Кармайкл Роберт

Карма́йкл Ро́берт, Роберт Дэниел Кармайкл (Robert Daniel Carmichael) (1.3.1879, Гудуотер, штат Алабама – 2.5.1967, Мерриам, штат Канзас), американский математик.

Обучался в колледже Линвилла на пресвитерианского священника. Увлёкся математикой. С 1905 г. начал отправлять задачи в Американский математический ежемесячник. Опубликовал около 170 задач. В 1909 г. отправился в Принстон, где проводил математические исследования под руководством Д. Д. Биркгофа. В 1911 г. защитил диссертацию «Линейные разностные уравнения и их аналитические решения» и получил степень доктора философии. В 1912 г. получил должность доцента математики в Университете Индианы, где прочитал курс теории относительности и опубликовал ряд работ на эту тему. Читал лекции по теории чисел и диофантовому анализу. На основе материалов лекций написал две книги. С 1915 г. – доцент, а с 1920 г. – профессор Иллинойского университета. В 1929–1934 гг. – заведующий кафедрой. В 1934 г. был избран на должность декана аспирантуры и занимал её до выхода на пенсию в 1947 г.

Наиболее известен исследованиями в области теории чисел:

а) числа Кармайкла (известные также как псевдопростые числа Ферма). Для любого простого числа ${\displaystyle p}$ и любого целого ${\displaystyle a}$, не делящегося на ${\displaystyle p}$, выполнено соотношение ${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1(\operatorname {mod} p)}$ (малая теорема Ферма). Кармайкл ввёл составные числа ${\displaystyle n}$, удовлетворяющие следующему обобщению этого свойства: ${\displaystyle a^{n-1}\equiv 1(\operatorname {mod} n)}$ для любого целого ${\displaystyle a}$, взаимно простого с ${\displaystyle n}$. Наименьшее такое число есть 561;

б) гипотеза Кармайкла. В 1907 г. сформулировал теорему о том, что функция Эйлера ${\displaystyle \varphi (n)}$, определяемая как количество натуральных чисел, не превосходящих ${\displaystyle n}$ и взаимно простых с ${\displaystyle n}$, принимает каждое своё значение по меньшей мере дважды. Впоследствии, однако, обнаружил, что его доказательство содержит ошибку, отозвал теорему и в 1922 г. опубликовал это утверждение в виде гипотезы (до настоящего времени не доказанной и не опровергнутой) вместе с оценкой (в дальнейшем кардинально улучшенной другими авторами) ${\displaystyle n>10^{37}}$ для возможного контрпримера – числа ${\displaystyle n}$, такого, что ${\displaystyle \varphi (m)\neq \varphi (n)}$ для любого ${\displaystyle m\neq n}$;

в) функция Кармайкла и теорема Кармайкла. Ввёл функцию ${\displaystyle \lambda (n)}$, равную минимальному целому ${\displaystyle m}$, такому, что ${\displaystyle a^{m}\equiv 1(\operatorname {mod} n)}$ для всех целых ${\displaystyle a}$, взаимно простых с ${\displaystyle n}$, и доказал теорему, предъявляющую конструктивные формулы для ${\displaystyle \lambda (n)}$. Эта теорема обобщает теорему Эйлера, утверждающую, что ${\displaystyle a^{\varphi (m)}\equiv 1\,(\operatorname {mod} m)}$ для взаимно простых ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle m}$ и превращается в малую теорему Ферма для простых ${\displaystyle n=p}$.

В 1931 г. появились математические таблицы и формулы, составленные Р. Кармайклом и Э. Смитом. Они содержат пятизначные таблицы логарифмов чисел, логарифмов тригонометрических функций и натуральных функций. Получил общую формулу интегрирования по частям для интеграла Стилтьеса.

Кармайкл был избран вице-президентом Математической ассоциации Америки в 1921–1923 гг. и президентом в 1923 г. В 1916–1918 гг. работал редактором журнала Annals of Mathematics и в 1931–1936 гг. – редактором журнала Transactions of the AMS.