Инвариа́нт Уо́лла, элемент из группы Уолла, являющийся препятствием к перестройке бордизма до простой гомотопической эквивалентности.

Пусть $X$ – конечный комплекс Пуанкаре, $\nu$ – расслоение над $X$ и $x=[(M, \varphi, F)] \in \Omega(X, \nu)$ – некоторый класс, где $m$ – формальная размерность $X$ и $\varphi: M \rightarrow X$ имеет степень 1. Отображение всегда можно перестроить до $\left[\frac{m}{2}\right]$-связного отображения. Пусть $\Lambda= \mathbb{Z}\left[\pi_1(X)\right]$ – групповое кольцо, $\text{и}^-$ – инволюция в нём: $\Lambda \rightarrow \Lambda$, задаваемая по формуле $\overline{\Sigma_g n(g) g}=\Sigma w(g)n(g) g^{-1}$, где $w: \pi_1(X) \rightarrow\{1,-1\}$ определяется первым классом Штифеля – Уитни расслоения $\nu$. Пусть

$$\begin{gathered} K^*(M)=\operatorname{coker}\left(\varphi^*: H^*(X) \longrightarrow H^*(M)\right), \\ K^*(M)=\operatorname{ker}\left(\varphi^*: H^*(M) \longrightarrow H_*(X)\right) \end{gathered}$$(коэффициенты в кольце $\Lambda$). Инволюция является антиизоморфизмом, и определены группы Уолла $U_n(\Lambda)= L_n\left(\pi_1(X), w\right)$.

Пусть теперь $m=2 k \geqslant 4$. Тогда в стабильно свободном $\Lambda$-модуле $G=K_k(M)=\pi_{k+1}(\varphi)$ выделен базис и двойственность Пуанкаре индуцирует простой изоморфизм $\lambda: G \rightarrow G^*=K^k(M)$, причём $(G, \lambda)$ является $(-1)^{k}$-формой. Поэтому получается класс $\Theta_{2 k}(x)=[(G, \lambda)] \in L_{2 k}\left(\pi_1(X), w\right)$.

Пусть теперь $m=2 k+1 \geqslant 5$. Можно выбрать образующие в $\pi_{k+1}(\varphi)=K_k(M ; \Lambda)$ так, что они представляются вложениями $f_i: S^k \times D^{k+1} \rightarrow M$, образы которых не пересекаются, и эти образы соединены путями с отмеченной точкой. Пусть $U=\bigcup_i \operatorname{Im} f_i$, $M_0=M \backslash \operatorname{Int} U$. Поскольку $\varphi \circ f_i \sim 0$, то можно заменить $\varphi$ гомотопным отображением и считать, что $\varphi(u)=*$. Так как $X$ – комплекс Пуанкаре, то можно заменить $X$ комплексом с единственной $m$-клеткой, т. е. имеется пара Пуанкаре $(X_0, S^{m+1})$ и $X=X_0 \bigcup e^m$. Выбором подходящей клеточной аппроксимации получается отображение для триад Пуанкаре степени 1: $\varphi:\left(M ; M_0, U\right) \rightarrow\left(X ; X_0, e^m\right)$. Следовательно, имеется диаграмма из точных последовательностей:

При этом имеется невырожденное спаривание $\lambda: K_k(\partial U) \times K_k(\partial U) \rightarrow \Lambda$, причём $H=\left(K_k(\partial U), \lambda\right)$ – квадратичная $(-1)^k$-форма, а $K_{k+1}(U, \partial U)$ и $K_{k+1}(M_0,\partial U)$ определяют её лагранжевы плоскости $L$ и $P$. Тогда $$\Theta_{2 k+1}(x)=[(H ; L, P)] \in U_{2 k+1}(\Lambda)=L_{2 k+1} \times \left(\pi_1(x), w\right).$$Определённые выше элементы $\Theta_m(x) \in L_m\left(\pi_1(x), w\right)$ и называются инвариантами Уолла. Важным их свойством является независимость $\Theta(x)$ от произвола конструкции и то, что равенство $\Theta(x)=0$ равносильно представимости класса простой гомотопической эквивалентностью (Wall. 1970).