Гру́ппа Уо́лла, абелева группа, которая сопоставляется кольцу с инволюцией, являющейся антиизоморфизмом. В частности, она определена для группового кольца $\mathbb{Z}\left[\pi_1(X)\right]$, где $\pi_1(X)$ – фундаментальная группа пространства. Если $X$ – комплекс Пуанкаре, то в этой группе определяются препятствия к существованию простой гомотопической эквивалентности в классе бордизмов из $\Omega_*(X, \nu)$. Это препятствие называется инвариантом Уолла (Wall. 1970).

Пусть $R$ – кольцо с инволюцией: $R \rightarrow R$, являющейся антиизоморфизмом, т. е. $\overline{a b}=\overline{b} \overline{a}$. Если $P$ – левый $R$-модуль, то $\operatorname{Hom}_R(P, R)$ является левым $R$-модулем относительно действия $(a f)(x)=f(x) \overline{a}$, $f \in \operatorname{Hom}_R(P, R)$, $a \in R$, $x \in P$. Этот модуль обозначается через $P^*$. Для конечнопорождённого проективного $R$-модуля $P$ имеется изоморфизм $P \rightarrow P^{* *}: x \rightarrow(f \rightarrow \overline{f(x)})$, и можно отождествить $P$ и $P^{* *}$ по этому изоморфизму.

Квадратичной $(-1)^k$-формой над кольцом с инволюцией $R$ называется пара $(P, \varphi)$, где $P$ – конечнопорождённый проективный $R$-модуль, а $\varphi: P \rightarrow P^*$ – такой гомоморфизм, что $\varphi=(-1)^k \varphi^*$. Морфизмом форм $f:(P, \varphi) \rightarrow(Q, \psi)$ называется гомоморфизм $f: P \rightarrow Q$, для которого $f^* \psi f=\varphi$. Если $\varphi$ – изоморфизм, то форма $(P, \varphi)$ называется невырожденной. Лагранжевой плоскостью невырожденной формы называется прямое слагаемое $L \subset P$, для которого $L=\operatorname{Ann} \varphi(L)$. Если $L \subset P$ – прямое слагаeмое и $L \subset \operatorname{Ann} \varphi(L)$, то $L$ называется сублагранжевой плоскостью. Лагранжевы плоскости $L$, $G$ формы $(P, \varphi)$ называются дополнительными, если $L+G=P$ и $L \cap G=\{0\}$.

Пусть $L$ – проективный $R$-модуль. Невырожденная $(-1)^k$-форма $H_{(-1)^k}(L)=\left(L \oplus L^*,\left(\begin{array}{lr}0 & 1 \\ (-1)^{k_0}\end{array}\right)\right)$ называется гамильтоновой, а $L \subset L \oplus L^*$ и $L^* \subset L \oplus L^*$ – её дополнительными лагранжевыми плоскостями. Если $L$ – лагранжева плоскость формы $(P, \varphi)$, то она изоморфна гамильтоновой форме $H_{(-1)^k}(L)$. Выбор дополнительной к $L$ лагранжевой плоскости равносилен выбору изоморфизма $(P, \varphi) \rightarrow H_{(-1)^k}(L)$, при котором эта дополнительная плоскость отождествляется с $L^*$.

Пусть $U_{2 k}(\mathbb{R})$ – абелева группа, порождённая классами эквивалентности (при изоморфизме) невырожденных квадратичных $(-1)^k$-форм $(P, \varphi)$ с соотношениями:

1) $[(P, \varphi)]+[(Q, \varphi)]=[(P \oplus Q, \varphi \oplus \psi)]$;

2) $[(P, \varphi)]=0$, если $(P, \varphi)$ имеет лагранжеву плоскость. Тройка $(H ; F, L)$, состоящая из невырожденной $(-1)^k$-формы $H$ и пары лагранжевых плоскостей $F$, $L$, называется $(-1)^k$-формацией. Формация называется тривиальной, если $F$ и $L$ дополнительны, и элементарной, если существует лагранжева плоскость формы $H$, дополнительная и к $F$, и к $L$. Тривиальная формация $\left(H_{(-1)^k}(G) ; G, G\right)$ называется гамильтоновой. Изоморфизмом формаций $f:(H ; F, L) \rightarrow\left(H_1 ; F_1, L_1\right)$ называется изоморфизм форм $f: H \rightarrow H_1$, для которого $f(F)=F_1$, $f(L)=L_1$. Всякая тривиальная формация изоморфна гамильтоновой.

Пусть $U_{2 k+1}(R)$ – абелева группа, порождённая классами эквивалентности (при изоморфизме) $(-1)^k$-формаций, со следующими соотношениями:

1) $[(H ; F, L)] \oplus [\left(H_1 ; F_1, L_1\right)]=\left[\left(H \oplus H_1; F \oplus F_1 / L \oplus L_1\right)\right]$;

2) $[(H ; \mid F, L)]=0$, если формация элементарна или тривиальна. Группы $U_n(R)$ и называются группами Уолла кольца $R$.