Инвариа́нт Понтря́гина, инвариант оснащённых перестроек поверхности с заданным на ней оснащением. Пусть $\left(M^2, U\right)$ – замкнутая ориентируемая поверхность с $n$-мерным оснащением $U$ в $S^{n+2}$, т. е. тривиализацией нормального $n$-мерного расслоения над поверхностью $M^2$ в $S^{n+2}$. Любой элемент $z \in H_1(M^2,\mathbb{Z})$ может быть реализован гладко иммерсированной окружностью с самопересечениями, которые являются только двойными и трансверсальными. Пусть выбрана и зафиксирована некоторая ориентация окружности $S^2$; пусть $u_1(y), u_2(y), \ldots, u_n(y)$ – ортогональные векторы, возникающие из оснащения $U$, ограниченного на точку $f(y)$, $y \in C$; $u_{n+2}(y)$ – вектор, касательный в точке $f(y)$ к кривой $C=f(y)$, согласно выбранной ориентации $S^1$; $u_{n+1}(y)$ – вектор, касательный к $M^2$ в точке $f(y)$, ортогональный $u_{n+2}(y)$ и направленный так, что последовательность векторов $u_1(y), \ldots, u_n(y), u_{n+1}(y), u_{n+2}(y$) даёт стандартную ориентацию сферы $S^{n+2}$. Возникающее отображение $h: S^1 \rightarrow SO_{n+2}$ задаёт элемент из группы $\pi_1\left(S O_{n+2}\right)$, которая при $n \geqslant 1$ изоморфна $\mathbb{Z}_2$. Пусть $\beta=0$, если $h$ гомотопно нулю, и $\beta=1$, если $h$ не гомотопно нулю, и пусть значение функции $\Phi_0: H_1(M^2,\mathbb{Z}) \rightarrow \mathbb{Z}_2$ равно сумме по $\bmod\, 2$ числа двойных точек кривой $C$, реализующей элемент $z$, и числа $\beta$, определённого по кривой $C$. Так, определённое значение $\Phi_0(z)$ зависит только от гомологического класса $z$, и функция $\Phi_0(z)$ удовлетворяет следующему условию:

$$\Phi_0\left(z_1+z_2\right)=\Phi_0\left(z_1\right)+ \Phi_0\left(z_2\right)+\Phi\left(z_1, z_2\right) \bmod 2,$$где $\Phi: H_1\left(M^2, \mathbb{Z}\right) \times H_1\left(M^2, \mathbb{Z}\right) \rightarrow \mathbb{Z}$ – форма пересечений одномерных гомологий поверхности $M^2$. Arf-инвариант функции $\Phi_0$ и называется инвариантом Понтрягина пары $\left(M^2, U\right)$. Пара $\left(M^2, U\right)$ оснащённо перестраивается до пары $\left(S^2, U\right)$ тогда и только тогда, когда инвариант Понтрягина пары $\left(M^2, U\right)$ равен нулю (теорема Понтрягина).

Инвариант Понтрягина может быть реализован $(n+2)$-мерным оснащением на торе, $n \geqslant 2$, и является единственным инвариантом двумерных оснащённых кобордизмов. Инвариант Понтрягина задаёт изоморфизм $\pi_{n+2}\left(S^n\right) \approx \mathbb{Z}_2$, $n \geqslant 2$.