Интегра́л Шва́рца, зависящий от параметра интеграл, дающий решение задачи Шварца о выражении аналитической функции $f(z)=u(z)+i v(z)$ в круге $D$ по граничным значениям её действительной (или мнимой) части $u$ на граничной окружности $C$ (Schwarz. 1890).

Пусть на единичной окружности $C=\left\{z: z=e^{i \varphi}, 0<\varphi<2 \pi\right\}$ дана непрерывная действительная функция $u(\varphi)$. Тогда интегральные формулы Шварца, выражающие аналитическую функцию $f(z)=u(z)+i v(z)$, граничные значения действительной части которой совпадают с $u(\varphi)$ [или граничные значения мнимой части совпадают с $v(\varphi)$], имеют вид
$$\tag{$*$} \begin{aligned} f(z) & =S u(z)=\frac{1}{2 \pi i} \int_C u(t) \frac{t+z}{t-z} \frac{d t}{t}+i c=\\ &=\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \frac{e^{i \varphi}+r e^{i \theta}}{e^{i \varphi}-r e^{i \theta}} u(\varphi) \,d \varphi+i c, \\ f(z) & =\frac{1}{2 \pi} \int_C v(t) \frac{t+2}{t-z} \frac{d t}{t}+c_1= \frac{i}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \frac{e^{i \varphi}+r e^{i \theta}}{e^{i \varphi}-r e^{i \theta}} v(\varphi)\, d \varphi+c_1 . \end{aligned}$$где $z=r e^{i \theta}$, $t=e^{i \varphi}$, $c$ и $c_1$ – произвольные действительные постоянные. Интеграл Шварца $(*)$ тесно связан с интегралом Пуассона. Выражение

$$\frac{1}{2 \pi} \cdot \frac{e^{i \varphi}+r e^{i \theta}}{e^{i \varphi}-r e^{i \theta}}$$часто называется ядром Шварца, а интегральный оператор $S$, фигурирующий в первой формуле $(*)$, – оператором Шварца. Эти понятия обобщаются и на области произвольного вида комплексной плоскости (Гахов. 1977). Интеграл Шварца и его обобщения играют важную роль при решении граничных задач теории аналитическиx функций (см. также Гахов. 1977) и исследовании граничных свойств аналитических функций (см. также Привалов. 1950).

При применении интегральных формул $(*)$ возникает важный и более трудный вопрос о существовании и выражении граничных значений мнимой части $v(z)$ и всей функции $f(z)$ по данным граничным значениям действительной части $u(\varphi)$ (или граничных значений действительности части $u(z)$ и всей функции $f(z)$ по данным граничным значениям мнимой части $v(\varphi)$). Если данные функции $u(\varphi)$ или $v(\varphi)$ удовлетворяют на $C$ условию Гёльдера, то соответствующие граничные значения $v(\varphi)$ или $u(\varphi)$ выражаются формулами Гильберта

$$\begin{aligned} & v(\varphi)=-\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} u(\alpha) \operatorname{ctg} \frac{\alpha-\varphi}{2}\, d \alpha+c, \\ & u(\varphi)=\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} v(\alpha) \operatorname{ctg} \frac{\alpha-\varphi}{2}\, d \alpha+c_1, \end{aligned}$$причём входящие в эти формулы интегралы являются сингулярными и существуют в смысле главного значения по Коши (Гахов. 1977).