Интегра́льное уравне́ние ти́па свёртки, интегральное уравнение, содержащее искомую функцию под знаком интегрального преобразования свёртки (см. Интегральный оператор). Особенностью интегрального уравнения типа свёртки является то, что ядра таких уравнений зависят от разности аргументов. Простейший пример – уравнение$$\tag{1} \varphi(t)-\int_{-\infty}^{\infty} k(t-\tau) \varphi(\tau) d \tau=f(t), \quad-\infty<t<\infty,$$где $k$ и $f$ – заданные функции, а $\varphi$ – искомая функция. Пусть $k$ и $f \in L_1(-\infty, \infty)$ и решение ищется в том же классе. Для разрешимости уравнения $(1)$ необходимо и достаточно выполнение условия$$\tag{2} 1-K(\lambda) \neq 0, \quad-\infty<\lambda<\infty,$$где $K$ – преобразование Фурье функции $k$. При выполнении условия $(2)$ уравнение $(1)$ в классе $L_1$ имеет единственное решение, представимое формулой$$\tag{3} \varphi(x)=f(x)-\int_{-\infty}^{\infty} k_1(x-t) f(t) d t,$$где $k \in L_1(-\infty, \infty)$ однозначно определяется с помощью своего преобразования Фурье:$$K_1(\lambda)=1-[1-K(\lambda)]^{-1} .$$Уравнения типа свёртки на полупрямой (уравнение Винера – Хопфа)$$\tag{4} \varphi(t)-\int_0^{\infty} k(t-\tau) \varphi(\tau) d \tau=f(t), \quad 0 \leqslant t<\infty,$$возникает при исследовании различных вопросов как теоретического, так и прикладного характера.

Пусть правая часть $f$ и искомая функция $\varphi \in L_p(0, \infty)$, $1 \leqslant p \leqslant \infty$, а ядро $k \in L_1(-\infty, \infty)$ и$$\tag{5} \alpha(\lambda)=1-K(\lambda) \neq 0,\quad-\infty<\lambda<\infty .$$Функцию $\alpha(\lambda)$ называют символом уравнения $(4)$. Индексом уравнения $(4)$ называется число$$\tag{6} \varkappa=\operatorname{ind} \alpha=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} d_\lambda \arg \alpha(\lambda) .$$Если $\varkappa=0$, функции $K_{+}, K_{-}$, определённые из равенств:$$\tag{7} \begin{gathered} 1+K_{ \pm}(\lambda)= \\ =\exp \left[-\frac{1}{2} \ln \alpha(\lambda) \mp \frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\ln \alpha(\tau)}{\tau-\lambda} d \tau\right], \end{gathered}$$являются преобразованиями Фурье, соответственно, функций $k_{+}, k-\in L_{\mathbf{1}}(-\infty, \infty)$ таких, что $k_{+}(t)=$ $k_-(-t)=0$ при $t<0$. При указанных выше условиях уравнение $(4)$ имеет единственное решение, которое представляется формулой$$\tag{8} \varphi(t)=f(t)+\int_0^{\infty} r(t, \tau) \varphi(\tau) d \tau,$$где$$r(t, \tau)=k_{+}(t-\tau)+k_{-}(t-\tau)+\int_0^{\infty} k_{+}(t-s) k_{-}(s-\tau) d s .$$Если $\varkappa<0$, то все решения уравнения $(4)$ даются формулой$$\tag{9} \begin{gathered} \varphi(t)=f(t)+\sum_{k=1}^{|\varkappa|} c_k t^{k-1} e^{-t}+ \\ +\int_0^{\infty} r_0(t, \tau)\left[f(\tau)+\sum_{k=1}^{|\varkappa|} c_k \tau^{k-1} e^{-\tau}\right] d \tau, \end{gathered}$$где $c_k$ – произвольные постоянные,$$\tag{10} \begin{gathered} r_0(t, \tau)=k_{+}^{(0)}(t-\tau)+k_{-}^{(1)}(t-\tau)+ \\ +\int_0^{\infty} k_{+}^{(0)}(t-s) k_{-}^{(1)}(s-\tau) d s, \end{gathered}$$а функции $k_+^{(0)}, k_-^{(0)} \in L_1(-\infty, \infty)$ однозначно определяются с помощью своих преобразований Фурье:$$\tag{11} \begin{gathered} 1+K_{-}^{(1)}(\lambda)=\left[1+K_{-}^{(0)}(\lambda)\right](\lambda+i)^\varkappa(\lambda-i)^{-\varkappa}, \\ 1+K_{ \pm}^{(0)}(\lambda)=\exp \left[-\frac{1}{2} \ln b(\lambda) \mp \frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\ln b(\tau)}{\tau-\lambda} d \tau\right], \\ b(\lambda)=[1-K(\lambda)]\left(\frac{\lambda+i}{\lambda-i}\right)^\varkappa . \end{gathered}$$Однородное уравнение, соответствующее $(4)$, имеет при $\varkappa<0$ ровно $|\varkappa|$ линейно независимых решений $\varphi_1, \ldots, \varphi_{|\varkappa|}$, являющихся абсолютно непрерывными функциями на любом конечном интервале, причём эти решения можно подобрать так, что $\varphi_{k+1}(t)=\varphi_k^{\prime}(t)$, $\varphi_k(0)=0$ при $k=1, \ldots,|\varkappa|-1$ и $\varphi_{|\varkappa|}(0) \neq 0$.

Если $\varkappa>0$, то уравнение разрешимо лишь при соблюдении условий:$$\tag{12} \int_0^{\infty} f(t) \psi_j(t) d t=0, \quad j=1, \ldots, \varkappa,$$где $\psi_1, \ldots, \psi_\varkappa$ – система линейно независимых решений транспонированного к $(4)$ однородного уравнения$$\tag{13} \psi(t)-\int_0^{\infty} k(\tau-t) \psi(\tau) d \tau=0 .$$При соблюдении этих условий решение (единственное) даётся формулой$$\varphi(t)=f(t)+\int_0^{\infty} r_1(t, \tau) f(\tau) d \tau,$$где$$\begin{gathered} r_1(t, \tau)=k_{+}^{(1)}(t-\tau)+k_{-}^{(0)}(t-\tau)+ \\ +\int_0^{\infty} k_{+}^{(1)}(t-s) k_{-}^{(0)}(s-\tau) d s, \end{gathered}$$а преобразование Фурье $K_{-}^{(0)}(\lambda)$ и $K_{+}^{(1)}(\lambda)$ функций $k_{-}^{(0)}(t)$ и $k_{+}^{(1)}(t) \in L_1(-\infty, \infty)$ определяется равенством$$1+K_{+}^{(1)}(\lambda)=\left[1+K_{+}^{(0)}(\lambda)\right](\lambda+i)^\varkappa(\lambda-i)^{-\varkappa}$$и равенствами $(11)$. Для уравнения $(4)$ справедливы теоремы Нётера (см. Сингулярное интегральное уравнение).

Первые значительные результаты по теории уравнений $(4)$ были получены в (Wiener. 1931), где указан эффективный метод (так называемый метод Винера – Хопфа) решения однородного уравнения, соответствующего $(4)$, в предположении, что ядро и искомое решение удовлетворяют условиям: при некоторых $0<\alpha<a$ и$$k(t)=O\left(e^{-a|t|}\right), \quad \varphi(t)=O\left(e^{\alpha t}\right) .$$Основным моментом в методе Винера – Хопфа является идея факторизации функции $h(\lambda)$, голоморфной в полосе $|\operatorname{Im} \lambda|<a$, то есть идея о возможности её представления в виде произведения $h_{-}(\lambda) h_{+}(\lambda)$, где $h_{-}, h_{+}$ – некоторые голоморфные функции соответственно в полуплоскостях $\operatorname{Im} \lambda< a$ и $\operatorname{Im} \lambda>-a$, удовлетворяющие некоторым дополнительным требованиям. Эти результаты были развиты и дополнены.

Разработан метод сведения уравнения $(4)$ к граничной задаче линейного сопряжения. Этим путём уравнение $(4)$ было решено в следующих предположениях: $k \in L_{1,2} (-\infty, \infty)$, $K \in \operatorname{Lip}_\alpha(-\infty, \infty)$, $0<\alpha<1$; $K(\lambda)  =O(|\lambda|^{-\beta})$, $\beta>0$, при $|\lambda| \rightarrow \infty$ и $1-K(\lambda) \neq 0$, $-\infty<\lambda<\infty$.

Кроме того, была выяснена роль числа $\operatorname{ind}[1-K(\lambda)]$ в решении уравнения $(4)$. В предшествующих работах аналогичную роль играло число нулей аналитической функции $~ 1-K(\lambda)$ в некоторой полосе (см. Рапопорт. 1948).

Условие $(5)$ является не только достаточным, но и необходимым для того, чтобы в случае уравнения $(4)$ были справедливы теоремы Нётера. Приведённые решения уравнения $(4)$ упрощаются в ряде практически важных частных случаев. Установлена асимптотика решения для специальных правых частей.

Уравнение $(4)$ изучено и в случае, когда $k \notin L_1(-\infty$, $\infty)$ и преобразование Фурье $K(\lambda)$ ядра $k(t)$ имеет разрывы $1$-го рода или же является почти периодической функцией. В этих случаях условие $(5)$ оказывается недостаточным для того, чтобы были справедливы теоремы Нётера.

Справедливость большинства перечисленных выше результатов установлена также для систем уравнений типа $(4)$, но, в отличие от одного уравнения, системы интегральных уравнений типа свёртки в общем случае не решаются явно в квадратурах.

К интегральным уравнениям типа свёртки относятся также парные уравнения (или дуальные уравнения)$$\tag{15} \begin{aligned} & \varphi(t)-\int_{-\infty}^{\infty} k_1(t-\tau) \varphi(\tau) d \tau=f(t), \quad t>0, \\ & \varphi(t)-\int_{-\infty}^{\infty} k_2(t-\tau) \varphi(\tau) d \tau=f(t), \quad t<0, \end{aligned}$$и транспонированное к ним так называемое интегральное уравнение типа свёртки с двумя ядрами:$$\tag{16} \begin{gathered} \varphi(t)-\int_0^{\infty} k_1(t-\tau) \varphi(\tau) d \tau- \\ -\int_{-\infty}^0 k_2(t-\tau) \varphi(\tau) d \tau=f(t),\quad-\infty<t<\infty . \end{gathered}$$Уравнения $(15)$ решены явно в квадратурах в (Рапопорт. 1948 ; 1949), а уравнение $(16)$ – в (Черский. 1953).

Интегральное уравнение типа свёртки на конечном промежутке$$\tag{17} \varphi(t)-\int_0^T k(t-\tau) \varphi(\tau) d \tau=f(t), \quad 0 \leqslant t \leqslant T<\infty,$$где $k \in L_1(-T,T)$, является уравнением Фредгольма.

Интегральные уравнения типа свёртки, символ которых обращается в нуль в конечном числе точек и порядки нулей – целые числа, поддаются явному решению в квадратурах.