Научные законы, утверждения, уравнения

Уравнение Винера – Хопфа

Уравне́ние Ви́нера – Хо́пфа, на полупрямой с ядром, зависящим от разности аргументов:

u(x)0k(xs)u(s)ds=f(x),0x<.(1) u(x)-\int_{0}^{\infty} k(x-s) u(s)\,d s=f(x), \quad 0 \leqslant x<\infty.\tag{1}Уравнения такого типа часто возникают в задачах , например, в теории переноса излучения (проблема Милна), в теории дифракции (дифракция на полуплоскости, задача береговой рефракции).

Впервые исследования уравнения (1)(1) были проведены в работах , () и Хопфа Э. (), где был развит метод факторизации. Именно идея факторизации явилась решающей для построения теории интегральных уравнений вида (1)(1). Уравнения Винера – Хопфа в предположении чётности и экспоненциального убывания ядра k(x)k(x) рассматривались в статье (1944).

Формальная схема решения уравнения Винера – Хопфа состоит в следующем. Пусть

v(x)={u(x) при x>0,0 при x<0,v(x)=\begin{cases} u(x) & \text { при } x>0, \\ 0 & \text { при } x<0, \end{cases}

n(x)={0 при x<0,0k(xs)u(s)ds при x<0,n(x)=\begin{cases} \quad 0 & \text { при } x<0, \\ -\int\limits_{0}^{\infty} k(x-s) u(s) d s& \text { при } x<0, \end{cases}тогда уравнение (1)(1) можно записать на всей бесконечной прямой:

v(x)k(xs)v(x)ds=f(x)+n(x),<x<(2)\displaystyle v(x)-\int_{-\infty}^{\infty} k(x-s) v(x)\,d s=f(x)+n(x),\quad-\infty<x<\infty \tag{2}Если выполнены условия, при которых существует всех функций, входящих в уравнение (2)(2):

V(λ)=0u(x)eiλxdx,K(λ)=k(x)eiλxdx,F(λ)=0f(x)eiλxdx,N(λ)=0n(x)eiλxdx,\begin{gathered} V(\lambda)=\int_{0}^{\infty} u(x) e^{i \lambda x}\, d x, \\ K(\lambda)=\int_{-\infty}^{\infty} k(x) e^{i \lambda x}\,d x, \\ F(\lambda)=\int_{0}^{\infty} f(x) e^{i \lambda x}\,d x, \\ N(\lambda)=\int_{-\infty}^{0} n(x) e^{i \lambda x}\,d x, \end{gathered}то с помощью преобразования Фурье уравнение (2)(2) сводится к функциональному уравнению

[1K(λ)]V(λ)=F(λ)+N(λ),(3)[1-K(\lambda)] V(\lambda)=F(\lambda)+N(\lambda),\tag{3}где V(λ)V(\lambda) и N(λ)N(\lambda) – неизвестные функции. Метод Винера – Хопфа позволяет решить уравнение (3)(3) для определённого класса функций. При этом обязательно должно выполняться условие: 1K(λ)01-K(\lambda) \neq 0. Для несимметричного ядра в теории уравнения (1)(1) особую роль играет индекс уравнения:

ν=ind[1K(λ)]=12πdλ[1K(λ)].(4)\nu=-\operatorname{ind}[1-K(\lambda)]=-\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} d_{\lambda}[1-K(\lambda)].\tag{4}Если K(x)L1(,)K(x) \in L_{1}(-\infty, \infty) и 1K(λ)01-K(\lambda) \neq 0, то: при ν=0\nu=0 неоднородное уравнение (1)(1) имеет единственное решение; при ν>0\nu>0 однородное уравнение (1)(1) имеет ν\nu линейно независимых решений; при ν<0\nu<0 неоднородное уравнение (1)(1) либо не имеет решения, либо имеет единственное решение при условии:

0f(x)ψk(x)dx=0,k=0,1,,ν1,\displaystyle\int_{0}^{\infty} f(x) \psi_{k}(x)\,d x=0,\quad k=0,1, \dots,|\nu|-1,где ψk(x)\psi_{k}(x) – линейно независимые решения транспонированного однородного уравнения (1)(1)

ψ(x)0k(xs)ψ(s)ds=0.\displaystyle\psi(x)-\int_{0}^{\infty} k(x-s) \psi(s)\,d s=0.

Первая публикация: Математическая энциклопедия под ред. И. М. Виноградова, 1978.
  • Интегральные уравнения