Уравнение Винера – Хопфа

Уравне́ние Ви́нера – Хо́пфа, интегральное уравнение на полупрямой с ядром, зависящим от разности аргументов:

$$u(x)-\int_{0}^{\infty} k(x-s) u(s)\,d s=f(x), \quad 0 \leqslant x<\infty.\tag{1}$$Уравнения такого типа часто возникают в задачах математической физики, например, в теории переноса излучения (проблема Милна), в теории дифракции (дифракция на полуплоскости, задача береговой рефракции).

Впервые исследования уравнения $(1)$ были проведены в работах Винера Н., Хопфа Э. (Wiener. 1931) и Хопфа Э. (Норf. 1934), где был развит метод факторизации. Именно идея факторизации явилась решающей для построения теории интегральных уравнений вида $(1)$. Уравнения Винера – Хопфа в предположении чётности и экспоненциального убывания ядра $k(x)$ рассматривались в статье Фока В. А. (1944).

Формальная схема решения уравнения Винера – Хопфа состоит в следующем. Пусть

$v(x)=\begin{cases} u(x) & \text { при } x>0, \\ 0 & \text { при } x<0, \end{cases}$

$n(x)=\begin{cases} \quad 0 & \text { при } x<0, \\ -\int\limits_{0}^{\infty} k(x-s) u(s) d s& \text { при } x<0, \end{cases}$тогда уравнение $(1)$ можно записать на всей бесконечной прямой:

$$\displaystyle v(x)-\int_{-\infty}^{\infty} k(x-s) v(x)\,d s=f(x)+n(x),\quad-\infty<x<\infty \tag{2}$$Если выполнены условия, при которых существует преобразование Фурье всех функций, входящих в уравнение $(2)$:

$\begin{gathered} V(\lambda)=\int_{0}^{\infty} u(x) e^{i \lambda x}\, d x, \\ K(\lambda)=\int_{-\infty}^{\infty} k(x) e^{i \lambda x}\,d x, \\ F(\lambda)=\int_{0}^{\infty} f(x) e^{i \lambda x}\,d x, \\ N(\lambda)=\int_{-\infty}^{0} n(x) e^{i \lambda x}\,d x, \end{gathered}$то с помощью преобразования Фурье уравнение $(2)$ сводится к функциональному уравнению

$$[1-K(\lambda)] V(\lambda)=F(\lambda)+N(\lambda),\tag{3}$$где $V(\lambda)$ и $N(\lambda)$ – неизвестные функции. Метод Винера – Хопфа позволяет решить уравнение $(3)$ для определённого класса функций. При этом обязательно должно выполняться условие: $1-K(\lambda) \neq 0$. Для несимметричного ядра в теории уравнения $(1)$ особую роль играет индекс уравнения:

$$\nu=-\operatorname{ind}[1-K(\lambda)]=-\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} d_{\lambda}[1-K(\lambda)].\tag{4}$$Если $K(x) \in L_{1}(-\infty, \infty)$ и $1-K(\lambda) \neq 0$, то: при $\nu=0$ неоднородное уравнение $(1)$ имеет единственное решение; при $\nu>0$ однородное уравнение $(1)$ имеет $\nu$ линейно независимых решений; при $\nu<0$ неоднородное уравнение $(1)$ либо не имеет решения, либо имеет единственное решение при условии:

$\displaystyle\int_{0}^{\infty} f(x) \psi_{k}(x)\,d x=0,\quad k=0,1, \dots,|\nu|-1,$где $\psi_{k}(x)$ – линейно независимые решения транспонированного однородного уравнения $(1)$

$\displaystyle\psi(x)-\int_{0}^{\infty} k(x-s) \psi(s)\,d s=0.$