Формула Далецкого – Крейна

Фо́рмула Дале́цкого – Кре́йна (формула дифференцирования в некоммутативном анализе), формула, выражающая производную по параметру функции от оператора, зависящего от этого параметра. Она имеет вид

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(A(t))={\stackrel {2}{\overline {A^{\prime }(t)}}}{\frac {\delta f}{\delta x}}({\stackrel {1}{A}}(t),{\stackrel {3}{A}}(t))}$,

где

${\displaystyle {\frac {\delta f}{\delta x}}(x,y)={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}}$

– разностная производная функции ${\displaystyle f(x)}$. Её также можно записать в виде

${\displaystyle df(A)={\frac {\delta f}{\delta x}}\left(R_{A},L_{A}\right)}$.

Здесь ${\displaystyle df(A)}$ – дифференциал функции ${\displaystyle f}$, рассматриваемой как отображение

${\displaystyle {\begin{aligned}f:{\mathcal {A}}&\longrightarrow {\mathcal {A}}\\A&\longmapsto f(A),\end{aligned}}}$

в точке ${\displaystyle A}$, а ${\displaystyle R_{A}}$ и ${\displaystyle L_{A}}$ – операторы правого и левого умножения на ${\displaystyle A}$ соответственно. Однако такая интерпретация теряет смысл в случае, если функция ${\displaystyle f}$ лишь частично определена на ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ [выражение ${\displaystyle f(A)}$ не имеет смысла, если ${\displaystyle A}$ не является ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$-производящим оператором для некоторого пространства символов ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, содержащего функцию ${\displaystyle f}$].

В более широком смысле под формулой Далецкого – Крейна понимается также формула

${\displaystyle D(f(A))={\stackrel {2}{\overline {DA}}}{\frac {\delta f}{\delta y}}({\stackrel {1}{A}},{\stackrel {3}{A}})}$,

где ${\displaystyle D}$ – любое дифференцирование операторной алгебры.