Фо́рмула Дале́цкого – Кре́йна (формула дифференцирования в некоммутативном анализе), формула, выражающая производную по параметру функции от оператора, зависящего от этого параметра. Она имеет вид$$\frac{d}{d t} f(A(t))=\stackrel{2}{\overline{A^{\prime}(t)}} \frac{\delta f}{\delta x}(\stackrel{1}{A}(t), \stackrel{3}{A}(t)),$$где$$\frac{\delta f}{\delta x}(x, y)=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$$– разностная производная функции $f(x)$. Её также можно записать в виде$$d f(A)=\frac{\delta f}{\delta x}\left(R_A, L_A\right).$$Здесь $d f(A)$ – дифференциал функции $f$, рассматриваемой как отображение$$\begin{aligned} f: \mathcal{A} &\longrightarrow \mathcal{A}\\ A &\longmapsto f(A), \end{aligned}$$в точке $A$, а $R_A$ и $L_A$ – операторы правого и левого умножения на $A$ соответственно. Однако такая интерпретация теряет смысл в случае, если функция $f$ лишь частично определена на $\mathcal{A}$ [выражение $f(A)$ не имеет смысла, если $A$ не является $\mathcal{F}$-производящим оператором для некоторого пространства символов $\mathcal{F}$, содержащего функцию $f$].

В более широком смысле под формулой Далецкого – Крейна понимается также формула$$D(f(A))=\stackrel{2}{\overline{DA}}\frac{\delta f}{\delta y}(\stackrel{1}{A},\stackrel{3}{A}),$$где $D$ – любое дифференцирование операторной алгебры.

Формула Далецкого – Крейна. Видеолекция Владимира Назайкинского. 2023.Формула Далецкого – Крейна. Видеолекция Владимира Назайкинского. 2023.

Архив БРЭАрхив БРЭ