Диофа́нтово мно́жество, множество $\mathfrak{M}$, состоящее из упорядоченных наборов из $n$ целых (целых неотрицательных, целых положительных) чисел, для которого можно указать диофантово уравнение
$$\tag{*} P\left(a_1, \ldots, a_n,\, x_1, \ldots, x_l\right)=0 \text {, }$$зависящее от $n$ параметров $a_1, \ldots, a_n$, допустимыми значениями которых являются целые (соответственно целые неотрицательные или целые положительные) числа, и разрешимое относительно $x_1, \ldots, x_l$ тогда и только тогда, когда $\left\langle a_1, \ldots, a_n\right\rangle \in \mathfrak{M}$. Здесь несущественно, понимается ли под разрешимостью существование решения в целых, целых неотрицательных или целых положительных числах, поскольку уравнение $(*)$ разрешимо в целых (целых неотрицательных, целых положительных) числах тогда и только тогда, когда уравнение

$$P\left(a_1, \ldots, a_n,\, y_1-z_1, \ldots, y_l-z_l\right)=0$$разрешимо в целых положительных числах (соответственно тогда и только тогда, когда уравнение

$$P\left(a_1, \ldots, a_n,\, z_1+1, \ldots, z_l+1\right)=0$$разрешимо в целых неотрицательных числах, или соответственно тогда и только тогда, когда уравнение
$$P\left(a_1, \ldots, a_n, \,p_1^2+q_1^2+r_1^2+s_1^2, \ldots, p_l^2+q_l^2+r_l^2+s_l^2\right)=0$$разрешимо в целых числах, ибо по теореме Лагранжа каждое целое неотрицательное число представимо в виде суммы четырёх квадратов).

Для любого диофантова множества можно указать соответствующее уравнение $(*$), в котором степень многочлена $P$ не больше $4$ (это достигается ценой увеличения числа неизвестных). Для каждого диофантова множества целых неотрицательных чисел, помимо уравнения общего вида $(*)$, можно указать уравнение вида $P\left(x_1, \ldots, x_l\right)=a_1$; иными словами, каждое диофантово множество целых неотрицательных чисел является множеством всех неотрицательных значений, принимаемых некоторым многочленом с целочисленными коэффициентами при произвольных значениях переменных. В качестве $P$ всегда можно взять многочлен степени не выше $5$, если допустимыми значениями переменных являются целые неотрицательные или целые положительные числа, и многочлен степени не выше $6$, если переменные принимают произвольные целочисленные значения.

Класс диофантовых множеств замкнут относительно операций перестановки и отождествления аргументов, объединения, пересечения, прямого произведения и проектирования (проекцией множества $\mathfrak{M}$, состоящего из упорядоченных наборов из $n$ чисел, называется множество $\left.\left\{\left\langle a_1, \ldots, a_{n-1}\right\rangle: \exists b\left[\left\langle a_1, \ldots, a_{n-1}, b\right\rangle \in \mathfrak{M}\right]\right\}\right)$, а также относительно операции, ставящей множеству $\mathfrak{M}$ в соответствие множество

$$\left\{\left\langle a_1, \ldots, a_{n-1}, b\right\rangle: \forall c\left[c \leqslant b \Rightarrow\left\langle a_1, \ldots, a_{n-1}, c\right\rangle \in \mathfrak{M}\right]\right\} .$$Класс диофантовых множеств совпадает с классом перечислимых множеств (см. Проблема разрешимости диофантовых уравнений), и все результаты о перечислимых множествах переносятся на диофантовы множества. В частности, из теоремы о существовании универсального перечислимого множества следует, что существует такое число $l$, что для каждого $n$ существует многочлен $U_n\left(a_1, \ldots, a_n, m, x_1, \ldots, x_l\right)$ с целочисленными коэффициентами, универсальный в следующем смысле: для каждого диофантова (перечислимого) множества $\mathfrak{M}$, состоящего из упорядоченных наборов из $n$ чисел, можно указать такое значение параметра $m$ (номер множества $\mathfrak{M}$), что уравнение

$$U_n\left(a_1, \ldots, a_n,\, m,\, x_1, \ldots, x_l\right)=0$$разрешимо относительно $x_1, \ldots, x_l$ тогда и только тогда, когда $\left\langle a_1, \ldots, a_n\right\rangle \in \mathfrak{M}$. Существуют многочлены, универсальные в других смыслах (см., например, Матиясевич. 1972).

Диофантовыми являются многие интересные с теоретико-числовой точки зрения множества, например множество всех простых чисел, множество всех совершенных чисел, множество всех тех $n$, для которых разрешимо уравнение Ферма

$$x^n+y^n=z^n.$$Доказательство теоремы о том, что перечислимые множества диофантовы, является эффективным, то есть для стандартно заданного перечислимого множества можно явно указать соответствующее диофантово уравнение. Этот универсальный метод, не использующий специфики рассматриваемых множеств, приводит к довольно громоздким многочленам, однако для некоторых конкретных множеств удаётся найти их сравнительно простые диофантовы представления, опираясь, кроме перечислимости, на другие свойства этих множеств.

Можно рассматривать и называть диофантовыми множества, представимые как множества всех тех упорядоченных наборов из $n$ элементов некоторого кольца $K$, для которых в этом кольце разрешимо относительно $x_1, \ldots, x_l$ уравнение вида $(*)$, где $P$ – многочлен либо c целочисленными коэффициентами, либо с коэффициентами из $K$.