Ча́стный коэффицие́нт корреля́ции, мера линейной зависимости между двумя случайными величинами из некоторой совокупности случайных величин в том случае, когда исключено влияние остальных. Точнее, пусть случайные величины $X_1, \ldots, X_n$ имеют совместное распределение в $\mathbb{R}^n$, и пусть $X_{1 \cdot 34 \ldots n}^*$ и $X_{2 \cdot 34 \ldots n}^*$ – наилучшие линейные приближения величин $X_1$ и $X_2$ соответственно величинами $X_3, \ldots, X_n$. Тогда частный коэффициент корреляции между $X_1$ и $X_2$, обозначаемый $\rho_{12 \cdot 34 \ldots n}$, определяется как обычный коэффициент корреляции между случайными величинами $Y_1=X_1-X_{1 \cdot 34 \ldots n}^*$ и $Y_2=X_2-X_{2 \cdot 34 \ldots n}^*$:

$$\rho_{12 \cdot 34 \ldots n}=\frac{E\left\{\left(Y_1-E Y_1\right)\left(Y_2-E Y_2\right)\right\}}{\sqrt{D Y_1 D Y_2}} .$$Из определения следует, что $-1 \leqslant \rho_{12 \cdot 34 \ldots n} \leqslant 1$. Частный коэффициент корреляции выражается через элементы корреляционной матрицы. Пусть $P=\left\|\rho_{i j}\right\|$, где $\rho_{i j}$ – коэффициент корреляции между $X_i$ и $X_j$, и пусть $P_{i j}$ есть алгебраическое дополнение элемента $\rho_{i j}$ в определителе $|P|$, тогда

$$\rho_{12 \cdot 3 \ldots n}=-\frac{P_{12}}{\sqrt{P_{11} P_{22}}} .$$Например, при $n=3$

$$\rho_{12 \cdot 3}=\frac{\rho_{12} \rho_{33}-\rho_{13} \rho_{23}}{\sqrt{\left(1-\rho_{13}^2\right)\left(1-\rho_{23}^2\right)}} .$$Аналогично определяется частный коэффициент корреляции для любых величин $X_i$ и $X_j$ из $X_1, \ldots, X_n$. В самом общем случае частный коэффициент корреляции $\rho_{12 \cdot 34 \ldots n}$ отличается от (полного) коэффициента корреляции $\rho_{12}$ величин $X_1$ и $X_2$. По различию между $\rho_{12 \cdot 34 \ldots n}$ и $\rho_{12}$ можно судить о том, зависимы ли $X_1$ и $X_2$ между собой, или зависимость между ними есть следствие зависимости каждой из них от величин $X_3, \ldots, X_n$. Если величины $X_1, \ldots, X_n$ попарно некоррелированы, то все частные коэффициенты корреляции равны нулю.

Выборочным аналогом частного коэффициента корреляции $\rho_{12 \cdot 34 \ldots n}$ является статистика

$$r_{12 \cdot 34 \ldots n}=-\frac{R_{12}}{\sqrt{R_{11} R_{22}}},$$где $R_{i j}$ – алгебраическое дополнение элемента $r_{i j}$ в определителе матрицы $R=\left\|r_{i j}\right\|$ выборочных коэффициентов корреляции $r_{i j}$. Если результаты наблюдений независимы и нормально распределены, то $r_{12 \cdot 34 \ldots n}$ распределён с плотностью вероятности

$$\frac{1}{\sqrt{\pi}} \frac{\Gamma\left(\frac{N-n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{N-n}{2}\right)}\left(1-x^2\right)^{\frac{N-n-2}{2}},-1<x<1$$($N$ – объём выборки). Для проверки гипотезы о частном коэффициенте корреляции используется тот факт, что статистика

$$t=\sqrt{N-n} \frac{r}{\sqrt{1-r^2}}, \text { где } r=r_{12\cdot 34 \ldots n},$$при указанных условиях имеет распределение Стьюдента с $N-n$ степенями свободы.