Альтернатива Фредгольма

Альтернати́ва Фредго́льма, альтернативное утверждение, вытекающее из теорем Фредгольма. В случае линейного интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода

$$\varphi(x)-\lambda \int_a^b K(x, s) \varphi(s) d s=f(x), \quad x \in[a, b],   \tag1$$альтернатива Фредгольма утверждает: либо уравнение (1) и сопряжённое с ним уравнение

$$\psi(x)-\bar{\lambda} \int_a^b \overline{K(s, x)} \psi(s) d s=g(x), \quad x \in[a, b],  \tag2$$имеют единственные решения $\varphi, \psi$, каковы бы ни были известные функции $f, g$, либо соответствующие однородные уравнения

$$\varphi(x)-\lambda \int_a^b K(x, s) \varphi(s) d s=0, \tag{1$'$}$$$$\psi(x)-\bar{\lambda} \int_a^b \overline{K(s, x)} \psi(s) d s=0  \tag{2$'$}$$имеют ненулевые решения, причём число линейно независимых решений конечно и одинаково для обоих уравнений.