Эквивалентность Мориты

Эквивале́нтность Мори́ты, отношение эквивалентности на классе всех колец, определяемое следующим образом: кольца ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle S}$ называются Морита-экивалентными, если категории левых (правых) ${\displaystyle R}$- и ${\displaystyle S}$-модулей эквивалентны. Важнейший пример эквивалентности Мориты колец: кольцо ${\displaystyle R}$ и кольцо всех ${\displaystyle (n\times n)}$-матриц над ним. Для существования экивалентности Мориты между кольцами ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle S}$ необходимо и достаточно, чтобы в категории левых ${\displaystyle R}$-модулей существовал такой конечно порождённый проективный образующий ${\displaystyle U}$, что его кольцо эндоморфизмов изоморфно кольцу ${\displaystyle S}$. При этом левому ${\displaystyle R}$-модулю ${\displaystyle A}$ ставится в соответствие левый ${\displaystyle S}$-модуль ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(U,A)}$. Среди свойств, сохраняющихся при переходе к кольцу, эквивалентному в смысле Мориты: артиновость, нётеровость, первичность, простота, классическая полупростота, регулярность, самоинъективность, наследственность, примитивность.

Наряду с эквивалентностью Мориты рассматривается двойственность в смысле Мориты, связывающая некоторые подкатегории категорий левых ${\displaystyle R}$-модулей и правых ${\displaystyle S}$-модулей (чаще всего подкатегории конечно порождённых модулей). Однако само существование такой двойственности накладывает определённые ограничения на кольца ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle S}$. В частности, при ${\displaystyle R=S}$ это ведёт к тому, что ${\displaystyle R}$ – квазифробениусово кольцо.

Общая концепция эквивалентности Мориты была разработанаМоритой Киити (Morita. 1958).