Самоинъективное кольцо

Самоинъекти́вное кольцо́, левое – кольцо, инъективное как левый модуль над собой. Симметричным образом определяется правое самоинъективное кольцо. Классически полупростые кольца и все кольца вычетов суть самоинъективные кольца. Если ${\displaystyle R}$ – самоинъективное кольцо с радикалом Джекобсона ${\displaystyle J}$, то факторкольцо ${\displaystyle R/J}$ регулярно в смысле Неймана. Регулярное самоинъективное кольцо непрерывно. Всякое счётное самоинъективное кольцо квазифробениусово. Левое самоинъективное кольцо может не быть правым самоинъективным кольцом. Кольцо матриц над самоинъективным кольцом и полное кольцо линейных преобразований векторного пространства над телом самоинъективны. Кольца эндоморфизмов всех свободных левых ${\displaystyle R}$-модулей являются самоинъективными кольцами тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {R}}$ квазифробениусово. Если ${\displaystyle M}$ – кообразующий категории левых ${\displaystyle R}$-модулей, то ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}M}$ есть самоинъективное кольцо. Если сингулярный идеал кольца ${\displaystyle R}$ равен нулю, то его инъективная оболочка естественным образом превращается в самоинъективное кольцо. Групповое кольцо ${\displaystyle RG}$ самоинъективно слева тогда и только тогда, когда ${\displaystyle R}$ есть самоинъективное кольцо, а группа ${\displaystyle G}$ конечна. Прямое произведение самоинъективных колец самоинъективно. Кольцо ${\displaystyle R}$ изоморфно прямому произведению полных колец линейных преобразований над телами в том и только в том случае, когда ${\displaystyle R}$ – левое самоинъективное кольцо без нильпотентных идеалов, каждый ненулевой левый идеал котоpого содержит минимальный левый идеал.