Первичное кольцо

Перви́чное кольцо́, кольцо ${\displaystyle R}$, в котором произведение любых двусторонних идеалов ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ равно нулевому идеалу в том и только в том случае, когда либо ${\displaystyle P}$, либо ${\displaystyle Q}$ является нулевым идеалом. Другими словами, идеалы первичного кольца по умножению образуют полугруппу без делителей нуля. Кольцо ${\displaystyle R}$ является первичным кольцом тогда и только тогда, когда правый (левый) аннулятор любого его ненулевого правого (соответственно левого) идеала равен (${\displaystyle 0}$), а также тогда и только тогда, когда ${\displaystyle aRb\neq 0}$ для любых ненулевых ${\displaystyle a,b\in R}$. Центр первичного кольца является областью целостности. Любое примитивное кольцо первично. Если кольцо ${\displaystyle R}$ не содержит ненулевых нильидеалов, то ${\displaystyle R}$ – подпрямая сумма первичных колец. Класс первичных колец играет важную роль в теории радикалов колец (Андрунакиевич. 1979^[1]).

Существует следующее обобщение понятия первичного кольца. Кольцо ${\displaystyle R}$ называется полупервичным, если оно не имеет ненулевых нильпотентных идеалов.