Интеграл вероятности

Интегра́л вероя́тности (интеграл ошибок), функция

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt,\quad \mid x\mid <\infty }$.

В теории вероятностей обычно используется не интеграл вероятности, а функция распределения стандартного нормального закона

${\displaystyle {\text{Ф}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt={\frac {1}{2}}(1+\operatorname {erf} (x/{\sqrt {2}}))}$,

иногда называемая интегралом вероятности Гаусса. Для случайной величины ${\displaystyle X}$, имеющей нормальное распределение с математическим ожиданием ${\displaystyle a}$ и дисперсией ${\displaystyle \sigma ^{2}}$, вероятность неравенства ${\displaystyle \mid (X-a)/\sigma \mid \leqslant x}$ равна ${\displaystyle {\text{erf}}\,(x/{\sqrt {2}})}$.