Тригонометрические уравнения

Тригонометри́ческие уравне́ния, уравнения относительно аргумента тригонометрических функций.

Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения

${\displaystyle \sin {x}=a,\ \ \ \ \ \ \cos {x}=a,\ \ \ \ \ \ tg\ x=a,\ \ \ \ \ \ \ ctg\ x=a}$,

где ${\displaystyle a}$ – любое действительное число. Для записи решений простейших тригонометрических уравнений используются обратные тригонометрические функции.

Уравнение ${\displaystyle \sin {x}=a}$ имеет решения при ${\displaystyle \left|a\right|\leq 1}$:

${\displaystyle x=(-1)^{n}\arcsin {a}+\pi n}$,

где ${\displaystyle n}$ – любое целое число (${\displaystyle n\in Z}$). Другая форма записи решения этого уравнения:

${\displaystyle x_{1}=\arcsin {a}+2\pi n,\ n\in Z,\ \ \ \ x_{2}=\pi -\arcsin {a}+2\pi k,\ k\in Z}$.

Важные частные случаи:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {x}=0,\,\,\,\,\,\,x=\pi n,\\v\,\,\,n\in Z\end{aligned}}}$,

${\displaystyle \sin {x}=1,\ \ \ \ \ \ x={\frac {\pi }{2}}+2\pi n,\ \ \ n\in Z}$,

${\displaystyle \sin {x}=-1,\ \ \ \ \ x=-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n,\ \ n\in Z}$.

Уравнение ${\displaystyle \cos {x}=a}$ имеет решения при ${\displaystyle \left|a\right|\leq 1}$ :

${\displaystyle x=\pm \arccos {a}+2\pi n,\ \ \ n\in Z}$.

Другая форма записи решения этого уравнения:

${\displaystyle x_{1}=\arccos {a}+2\pi n,\ \ \ n\in Z,{\ \ \ \ \ \ x}_{2}=-\arccos {a}+2\pi k,\ \ k\in Z}$.

Важные частные случаи:

${\displaystyle \cos {x}=0,\ \ \ \ x={\frac {\pi }{2}}+\pi n,\ \ \ n\in Z}$,

${\displaystyle \cos {x}=1,\ \ \ \ x=2\pi n,\ \ \ n\in Z}$,

${\displaystyle \cos {x}=-1,\ \ \ \ x=\pi +2\pi n,\ \ \ n\in Z}$.

Уравнение ${\displaystyle tg{x}=a}$ имеет решения при ${\displaystyle a\in \left(-\infty ,+\infty \right)}$:

${\displaystyle x=arctg{a}+\pi n,\ \ \ n\in Z}$.

Важные частные случаи:

${\displaystyle tg{x}=0,\ \ \ \ \ \ x=\pi n,\ \ \ \ n\in Z}$,

${\displaystyle tg{x}=1,\ \ \ \ \ x={\frac {\pi }{4}}+\pi n,\ \ \ \ \ \ n\in Z}$,

${\displaystyle tg{x}=-1,\ \ \ \ \ x=-{\frac {\pi }{4}}+\pi n,\ \ \ \ n\in Z}$.

Уравнение ${\displaystyle ctg{x}=a}$ имеет решения при ${\displaystyle a\in \left(-\infty ,+\infty \right)}$:

${\displaystyle x=arcctg{a}+\pi n,\ \ \ n\in Z}$.

Важные частные случаи:

${\displaystyle ctg{x}=0,\ \ \ \ x={\frac {\pi }{2}}+\pi n,\ \ \ \ n\in Z}$,

${\displaystyle ctg{x}=1,\ \ \ \ x={\frac {\pi }{4}}+\pi n,\ \ \ \ \ \ n\in Z}$,

${\displaystyle ctg{x}=-1,\ \ \ \ \ x=-{\frac {\pi }{4}}+\pi n,\ \ \ \ \ \ n\in Z}$.

Уравнения вида ${\displaystyle P\left(\sin {x},\cos {x}\right)=0}$, где ${\displaystyle P\left(a,b\right)}$ – многочлен от двух переменных, сводятся к алгебраическому уравнению при помощи универсальной тригонометрической подстановки:

${\displaystyle z=tg{\frac {x}{2}},\ \ \ \ \sin {x}={\frac {2z}{1+z^{2}}},\ \cos {x}={\frac {1-z^{2}}{1+z^{2}}}}$.

Если ${\displaystyle P\left(0,-1\right)=0}$, то к найденным решениям надо добавить ${\displaystyle x=\pi +2\pi n}$, где ${\displaystyle n\in Z}$.

В ряде частных случаев удобно использовать другие подстановки.

1. Уравнения вида ${\displaystyle P\left(\sin {x},\cos ^{2}{x}\right)=0}$ и ${\displaystyle P\left(\cos {x},\sin ^{2}{x}\right)=0}$, где ${\displaystyle P\left(a,b\right)}$ – многочлен от двух переменных, сводятся к алгебраическому уравнению ${\displaystyle P\left(y,1-y^{2}\right)=0}$ заменами ${\displaystyle \ y=\sin {x}}$ и ${\displaystyle y=\cos {x}}$ соответственно.

2. Однородное уравнение порядка ${\displaystyle n}$

${\displaystyle a_{n}\sin ^{n}{x}+a_{n-1}\sin ^{n-1}{x}\cos {x}+\ldots +a_{1}\sin {x}\cos ^{n-1}{x}+a_{0}\cos ^{n}{x}=0,{\ \ \ a}_{n}\neq 0}$,

после деления каждого слагаемого на ${\displaystyle \cos ^{n}{x}\neq 0}$ сводится к алгебраическому уравнению

${\displaystyle a_{n}y^{n}+a_{n-1}y^{n-1}+\ldots +a_{1}y+a_{0}=0}$

заменой ${\displaystyle y=tg{x}}$.

3. Уравнение с однородной левой частью чётного порядка ${\displaystyle n=2k}$вида

${\displaystyle a_{n}\sin ^{n}{x}+a_{n-1}\sin ^{n-1}{x}\cos {x}+\ldots +a_{1}\sin {x}\cos ^{n-1}{x}+a_{0}\cos ^{n}{x}=b}$

сводится к однородному уравнению подстановкой в правой части ${\displaystyle b=b\left(\sin ^{2}{x}+\cos ^{2}{x}\right)^{k}}$.

4. Уравнение вида

${\displaystyle a\sin {x}+b\cos {x}=c,\ \ \ \ \ \ c\neq 0}$,

может быть решено следующими способами:

а) приведением к однородному тригонометрическому уравнению второго порядка с половинным аргументом

${\displaystyle 2a\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}+b\left(\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}\right)-c\left(\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}\right)=0}$;

б) сведением к квадратному уравнению относительно ${\displaystyle y=tg{\frac {x}{2}}}$ при помощи универсальной тригонометрической подстановки; при ${\displaystyle c=-b}$ к найденным решениям надо добавить ${\displaystyle x=\pi +2\pi n,n\in Z}$;

в) сведением к простейшему тригонометрическому уравнению

${\displaystyle \sin {\left(x+\varphi \right)}={\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

путём введения вспомогательного аргумента ${\displaystyle \varphi }$, заданного соотношениями

${\displaystyle \cos {\varphi }={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},\ \ \ \ \ \sin {\varphi }={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$.

Для решения уравнений вида

${\displaystyle \sin {a}x\pm \sin {b}x=0,\ \ \ \ \ \cos {a}x\pm \cos {b}x=0,\ \ \ \ \ \ \sin {a}x\pm \cos {b}x=0}$

суммы и разности тригонометрических функций преобразуются в произведения тригонометрических функций по формулам

${\displaystyle \sin {\alpha }+\sin {\beta }=2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}$,

${\displaystyle \sin {\alpha }-\sin {\beta }=2\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}}$,

${\displaystyle \cos {\alpha }+\cos {\beta }=2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}$,

${\displaystyle \cos {\alpha }-\cos {\beta }=-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}$,

${\displaystyle \sin {\alpha }+\cos {\beta }=2\sin {\left({\frac {\alpha -\beta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}\cos {\left({\frac {\alpha +\beta }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}}$,

${\displaystyle \sin {\alpha }-\cos {\beta }=2\sin {\left({\frac {\alpha +\beta }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}\cos {\left({\frac {\alpha -\beta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}}$.

Далее каждый сомножитель нужно приравнять к нулю, решить простейшие тригонометрические уравнения и объединить два множества решений.