Транслятивность метода суммирования

Трансляти́вность ме́тода сумми́рования, свойство метода суммирования, сохраняющее суммируемость ряда после добавления к нему или удаления из него конечного числа членов. Более точно: метод суммирования ${\displaystyle A}$ называется транслятивным, если из суммируемости ряда

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$

к сумме ${\displaystyle S}$ следует суммируемость этим же методом ряда

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$

к сумме ${\displaystyle S-a_{0}}$ и наоборот. Для метода суммирования ${\displaystyle A}$, определённого преобразованием последовательности ${\displaystyle \{S_{n}\}}$ в последовательность или функцию, свойство транслятивности состоит в том, что из условия

${\displaystyle A-\lim S_{n}=S}$

следует

${\displaystyle A-\lim S_{n+1}=S,}$

и наоборот. Если метод суммирования определён регулярной матрицей ${\displaystyle \lVert a_{nk}\rVert }$, то это означает, что из

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{\infty }a_{nk}S_{k}=S}$ (1)

всегда следует

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{\infty }a_{nk}S_{k+1}=S}$ (2)

и наоборот. В случаях когда такое заключение выполняется только в одну сторону, метод называют транслятивным справа – если из (1) следует (2), но обратное неверно, или транслятивным слева, когда из (2) следует (1), но обратное неверно.

Свойством транслятивности обладают многие распространённые методы суммирования; например, метод Чезаро ${\displaystyle (C,k)}$ при ${\displaystyle k>0}$, метод Рисса ${\displaystyle (R,n,k)}$ при ${\displaystyle k>0}$, метод Абеля транслятивны, экспоненциальный метод Бореля транслятивен слева.