Суммирование рядов

Сумми́рование рядо́в, построение обобщённых сумм рядов, которые являются расходящимися. Расходящиеся ряды часто встречаются на практике (например, в теории электромагнитного поля и в других разделах современной физики); они могут получаться при перемножении условно сходящихся рядов, при разложении функции в ряд Фурье, при дифференцировании и интегрировании функциональных рядов. Во многих случаях для расходящихся рядов можно найти сумму в обобщённом смысле, обладающую некоторыми свойствами обычной суммы сходящегося ряда. При суммировании расходящихся рядов обычно требуется, чтобы из того, что ряд ${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ суммируется к ${\displaystyle S}$, а ряд ${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}}$ суммируется к ${\displaystyle T}$, следовало бы, что ряд ${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(\lambda a_{n}+\mu b_{n})}$ суммируется к ${\displaystyle \lambda S+\mu T}$, где ${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle \mu }$ – произвольные числа, а ряд ${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ суммируется к ${\displaystyle S-a_{0}}$. Кроме того, чаще всего рассматриваются регулярные методы суммирования, т. е. методы, суммирующие каждый сходящийся ряд к его обычной сумме.

В большинстве методов суммирования рядов расходящийся ряд рассматривается в некотором смысле как предел некоторого сходящегося ряда, а именно, каждый член ряда

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ (1)

умножается на множитель ${\displaystyle \lambda _{n}(t)}$ так, чтобы после умножения получился сходящийся ряд

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\lambda _{n}(t)}$ (2)

с суммой ${\displaystyle \sigma (t)}$. При этом множители ${\displaystyle \lambda _{n}(t)}$ выбираются так, чтобы при каждом фиксированном ${\displaystyle n}$ предел ${\displaystyle \lambda _{n}(t)}$ при некотором непрерывном или дискретном изменении параметра ${\displaystyle t}$ равнялся ${\displaystyle 1}$. Тогда члены ряда (2) стремятся к соответствующим членам ряда (1). Если при этом ${\displaystyle \sigma (t)}$ имеет предел, то этот предел называется обобщённой суммой ряда (1), соответствующей данному выбору множителей ${\displaystyle \lambda _{n}(t)}$ (или данному методу суммирования).

Например, если положить ${\displaystyle \lambda _{n}(t)=1}$ при ${\displaystyle n\leqslant t}$ и ${\displaystyle \lambda _{n}(t)=0}$ при ${\displaystyle n>t}$ и брать ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$, то получится обычное определение суммы ряда; при ${\displaystyle \lambda _{n}(t)=t^{n}}$, ${\displaystyle 0<t<1}$, и ${\displaystyle t\rightarrow 1}$ получается метод суммирования Абеля – Пуассона. Часто задаётся не результат умножения членов ряда (1) на ${\displaystyle \lambda _{n}(t)}$, а соответственное изменение частичных сумм ряда. Например, в методе суммирования Чезаро средних арифметических полагают

${\displaystyle S=\lim _{m\to \infty }\sigma _{m}}$,

где

${\displaystyle \sigma _{m}={\frac {S_{0}+\ldots +S_{m}}{m+1}},\qquad S_{k}=a_{0}+...+a_{k}}$.

Этот метод соответствует выбору ${\displaystyle \lambda _{n}(m)=(m-n+1)/(m+1)}$ при ${\displaystyle n\leqslant m}$ и ${\displaystyle \lambda _{n}(m)=0}$ при ${\displaystyle m>n}$. Если положить

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}^{0}=S_{n},\quad &A_{n}^{k}=A_{0}^{k-1}+...+A_{n}^{k-1},\\E_{n}^{0}=1,\quad &E_{n}^{k}=E_{0}^{k-1}+...+E_{n}^{k-1},\end{aligned}}}$

то в случае, когда существует

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(A_{n}^{k}/E_{n}^{k})=A}$,

говорят, что ряд (1) суммируется к ${\displaystyle A}$ методом Чезаро ${\displaystyle k}$-го порядка. Рассматриваются и методы Чезаро дробных порядков. С ростом ${\displaystyle k}$ возрастают возможности метода Чезаро, т. е. расширяется множество рядов, суммируемых этим методом. Всякий ряд, суммируемый методом Чезаро какого-либо порядка, суммируется и методом Абеля – Пуассона и притом к той же сумме.

Методы суммирования Чезаро и Абеля – Пуассона применяются в теории тригонометрических рядов для нахождения функции по её ряду Фурье, так как ряд Фурье любой непрерывной функции суммируется к ней методом Чезаро 1-го порядка, а тем самым и методом Абеля – Пуассона. Г. Ф. Вороной предложил метод суммирования рядов, частными случаями которого являются все методы Чезаро: пусть ${\displaystyle p_{0}=0}$, ${\displaystyle p_{n}\geqslant 0}$, ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$, ${\displaystyle P_{n}=p_{0}+\ldots +p_{n}}$; тогда обобщённой суммой ряда (1), по Вороному, называется

${\displaystyle S=\lim _{m\to \infty }{\frac {p_{m}S_{0}+...+p_{0}S_{m}}{P_{m}}}}$.

Метод суммирования Вороного регулярен, если

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {p_{n}}{P_{n}}}=0}$.

Теория расходящихся интегралов аналогична теории расходящихся рядов. Например, если интеграл

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }f(x)\,dx}$

расходится и существует предел

${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }\int \limits _{0}^{N}\left(1-{\frac {x}{N}}\right)^{\lambda }f(x)\,dx=A}$,

то говорят, что первый интеграл суммируем к ${\displaystyle A}$ методом Чезаро порядка ${\displaystyle \lambda }$.