Теория полей классов

Тео́рия поле́й кла́ссов, теория, дающая описание всех абелевых расширений (конечных расширений Галуа с абелевой группой Галуа) поля ${\displaystyle K}$, принадлежащего к одному из следующих типов: 1) ${\displaystyle K}$ – поле алгебраических чисел, т. е. конечное расширение поля ${\displaystyle \mathbb {Q} }$; 2) ${\displaystyle K}$ – конечное расширение поля рациональных ${\displaystyle p}$-адических чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$; 3) ${\displaystyle K}$ – поле алгебраических функций одной переменной над конечным полем; 4) ${\displaystyle K}$ – поле формальных степенных рядов над конечным полем.

Основные теоремы теории полей классов были сформулированы и доказаны в частных случаях Л. Кронекером, Г. Вебером, Д. Гильбертом и др. (см. также Алгебраическая теория чисел).

Поля типа 2) и 4) называются локальными, а поля типа 1) и 3) – глобальными. Соответственно, можно говорить о локальной и глобальной теории полей классов.

В локальной теории полей классов каждому конечному абелеву расширению ${\displaystyle L/K}$ с группой Галуа ${\displaystyle G(L/K)}$ ставится в соответствие норменная подгруппа ${\displaystyle N_{L/K}\left(L^{*}\right)}$ мультипликативной группы ${\displaystyle K^{*}}$ поля ${\displaystyle K}$. Группа ${\displaystyle N_{L/K}\left(L^{*}\right)}$ полностью определяет поле ${\displaystyle L}$, и существует канонический изоморфизм ${\displaystyle \varphi :G(L/K)\simeq K^{*}/N_{L/K}\left(L^{*}\right)}$ (основной изоморфизм теории полей классов). Явный вид этого изоморфизма дает теория формального комплексного умножения (см. ^[1] С. 140–147). Наоборот, любая открытая подгруппа конечного индекса в ${\displaystyle K^{*}}$ реализуется как норменная подгруппа для некоторого абелева расширения ${\displaystyle L}$ (теорема существования).

Если ${\displaystyle L}$ и ${\displaystyle L_{1}}$ – конечные абелевы расширения поля ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle M=L\cap L_{1}}$ и ${\displaystyle N=L\cdot L_{1}}$, то справедливы соотношения

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}N_{M/K}\left(M^{*}\right)=N_{L/K}\left(L^{*}\right)N_{L_{1}/K}\left(L_{1}^{*}\right),\\N_{N/K}\left(N^{*}\right)=N_{L/K}\left(L^{*}\right)\cap N_{L_{1}/K}\left(L_{1}^{*}\right).\end{array}}\right\}}$ (1)

Включение ${\displaystyle L_{1}\supseteq L}$ выполняется тогда и только тогда, когда

${\displaystyle N_{L/K}\left(L^{*}\right)\supset N_{L_{1}/K}\left(L_{1}^{*}\right)}$,

причем в этом случае диаграмма

${\displaystyle {\begin{aligned}G\left(L_{1}/K\right)&{\stackrel {\varphi }{\simeq }}K^{*}/N_{L_{1}/K}\left(L^{*}\right)\\\downarrow \alpha &\quad \quad \quad \downarrow \beta \\G(L/K)&{\stackrel {\varphi }{\simeq }}K^{*}/N_{L/K}\left(L^{*}\right),\end{aligned}}}$ (2)

где ${\displaystyle \alpha }$ получен ограничением автоморфизмов с ${\displaystyle L_{1}}$ на ${\displaystyle L}$, а ${\displaystyle \beta }$ индуцирован тождественным отображением ${\displaystyle K^{*}\rightarrow K^{*}}$, коммутативна. В частности, если ${\displaystyle K^{ab}}$ – максимальное абелево расширение поля ${\displaystyle K}$, то группа Галуа ${\displaystyle G\left(K^{ab}/K\right)}$ канонически изоморфна проконечному пополнению группы ${\displaystyle K^{*}}$.

Изоморфизм ${\displaystyle \varphi }$ даёт также описание последовательности подгрупп ветвления в ${\displaystyle G(L/K)}$. Так, расширение ${\displaystyle L/K}$ не разветвлено тогда и только тогда, когда группа единиц ${\displaystyle U(K)}$ поля ${\displaystyle K}$ содержится в группе ${\displaystyle N_{L/K}\left(L^{*}\right)}$. В этом случае изоморфизм ${\displaystyle \varphi }$ полностью определяется тем, что автоморфизм Фробениуса, порождающий группу ${\displaystyle G(L/K)}$, переходит в класс ${\displaystyle \pi \cdot N_{L/K}\left(L^{*}\right)}$, где ${\displaystyle \pi }$ – простой элемент поля ${\displaystyle K}$.

На языке когомологий групп изоморфизм ${\displaystyle \varphi }$ интерпретируется как изоморфизм между группами когомологий Тейта

${\displaystyle H^{-2}(G(L/K),\mathbb {Z} )\simeq G(L/K)}$

и

${\displaystyle H^{0}\left(G(L/K),L^{*}\right)=K^{*}/N_{L/K}\left(L^{*}\right)}$.

Более того, пусть ${\displaystyle L/K}$ – произвольное конечное расширение Галуа локальных полей. Тогда для любого целого ${\displaystyle n}$ определён канонический изоморфизм ${\displaystyle \varphi _{n}}$:

${\displaystyle H^{n-2}(G(L/K),\mathbb {Z} )\simeq H^{n}\left(G(L/K),L^{*}\right)}$.

Если задана башня полей Галуа ${\displaystyle M\supset L\supset K}$, то инфляция

${\displaystyle {\text{ inf: }}H^{2}\left(G(L/K),L^{*}\right)\longrightarrow H^{2}\left(G(M/K),M^{*}\right)}$

сохраняет инвариант (см. Группa Брауэра), а ограничение

${\displaystyle {\text{ res: }}H^{2}\left(G(M/K),M^{*}\right)\longrightarrow H^{2}\left(G(M/L),M^{*}\right)}$

умножает инвариант на ${\displaystyle [L:K]}$. Если ${\displaystyle {\bar {K}}}$ – сепарабельное замыкание поля ${\displaystyle K}$, то инвариант определяет канонический изоморфизм между группой Брауэра поля ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \operatorname {Br} (K)\simeq H^{2}(G({\bar {K}}/K),{\bar {K}}^{*})}$

и ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$.

В глобальной теории полей классов роль мультипликативной группы поля играет группа классов иделей. Пусть ${\displaystyle L/K}$ – конечное расширение Галуа глобальных полей и ${\displaystyle I_{L}}$ – группа иделей поля ${\displaystyle L}$. Группа ${\displaystyle L^{*}}$ вкладывается в ${\displaystyle I_{L}}$ в качестве дискретной подгруппы (она называется группой главных иделей), а факторгруппа ${\displaystyle C_{L}=I_{L}/L^{*}}$, наделённая фактортопологией, называется группой классов иделей. Доказывается, что ${\displaystyle H^{1}\left(G(L/K),C_{L}\right)=1}$ и ${\displaystyle H^{2}\left(G(L/K),C_{L}\right)\simeq \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$, где ${\displaystyle n=[L:K]}$. Существует каноническое вложение ${\displaystyle \operatorname {inv} :H^{2}\left(G(L/K),C_{L}\right)\rightarrow \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$. Как и в локальной теории полей классов, для любого целого ${\displaystyle n}$ определён изоморфизм (основной изоморфизм глобальной теории полей классов)

${\displaystyle \psi _{n}:H^{n-2}(G(L/K),\mathbb {Z} )\simeq H^{n}\left(G(L/K),C_{L}\right)}$.

Для абелева расширения ${\displaystyle L/K}$ изоморфизм ${\displaystyle \psi _{0}}$ сводится к изоморфизму ${\displaystyle \psi :G(L/K)\simeq C_{K}/N_{L/K}\left(C_{L}\right)}$. Hopменная подгруппа ${\displaystyle N_{L/K}\left(C_{L}\right)}$ однозначно определяет поле ${\displaystyle L}$, и наоборот, любая открытая подгруппа конечного индекса в ${\displaystyle C_{K}}$ является норменной подгруппой для некоторого конечного абелева расширения ${\displaystyle L}$ (глобальная теорема существования). Соотношения, аналогичные (1) и (2), остаются справедливыми и для глобальных полей. Если ${\displaystyle K^{ab}}$ – максимальное абелево расширение поля ${\displaystyle K}$, то в функциональном случае группа ${\displaystyle G\left(K^{ab}/K\right)}$ изоморфна проконечному пополнению группы ${\displaystyle C_{K}}$, а в числовом случае группа ${\displaystyle G\left(K^{ab}/K\right)}$ изоморфна факторгруппе группы ${\displaystyle C_{K}}$ по связной компоненте.

Изоморфизмы ${\displaystyle \varphi _{n}}$ и ${\displaystyle \psi _{n}}$ согласованы. Если ${\displaystyle L/K}$ конечное расширение Галуа глобальных полей, ${\displaystyle L_{v}}$ – пополнение поля ${\displaystyle L}$ относительно некоторой точки ${\displaystyle v}$ и ${\displaystyle K_{v}}$ – пополнение поля ${\displaystyle K}$ относительно ограничения ${\displaystyle v}$ на ${\displaystyle K}$, то существует коммутативная диаграмма

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{n}:H^{n-2}(G(L/K),\mathbb {Z} )&\simeq H^{n}\left(G(L/K),C_{L}\right),\\\uparrow {\text{ cores }}&\quad \quad \quad \quad \quad \uparrow f\\\varphi _{n}:H^{n-2}\left(G\left(L_{v}/K_{v}\right),\mathbb {Z} \right)&\simeq H^{n}\left(G\left(L_{v}/K_{v}\right),L^{*}\right),\end{aligned}}}$ (3)

где отображение ${\displaystyle f}$ индуцировано вложением ${\displaystyle L^{*}-I_{L}\rightarrow C_{L}}$ и коограничением ${\displaystyle \operatorname {cores} }$. Для ${\displaystyle n=0}$ (3) даёт коммутативную диаграмму

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi :G(L/K&)/[G(L/K),G(L/K)]\simeq C_{K}/N_{L/K}\left(C_{L}\right)\\&\uparrow \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \uparrow \\\varphi :G\left(L_{v}/K_{v}\right)/&\left[G\left(L_{v}/K_{v}\right),G\left(L_{v}/K_{v}\right)\right]\simeq K_{v}^{*}/N_{L_{v}/K_{v}}\left(L_{v}^{*}\right).\end{aligned}}}$ (4)

Диаграмма (4) позволяет получить закон разложения простых дивизоров поля ${\displaystyle K}$ в абелевом расширении ${\displaystyle L/K}$. Именно: дивизор ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ поля ${\displaystyle K}$ не разветвлен в ${\displaystyle L}$ (вполне распадается в ${\displaystyle L}$ ) тогда и только тогда, когда ${\displaystyle U\left(K_{\mathfrak {c}}\right)\subset N_{L/K}\left(G_{L}\right)}$ (соответственно ${\displaystyle K^{*}\subset N_{L/K}\left(G_{L}\right)}$).

Если ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ – некоторый простой дивизор поля ${\displaystyle K}$, не разветвлённый в ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle v}$ – точка поля ${\displaystyle K}$, соответствующая ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$, и ${\displaystyle \pi }$ – простой элемент поля ${\displaystyle K_{v}}$, то определён символ Артина ${\displaystyle \left({\frac {L/K}{\mathfrak {c}}}\right)=\psi ^{-1}(\pi )\in G(L/K)}$, зависящий только от ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$. Элемент ${\displaystyle \left({\frac {L/K}{\mathfrak {c}}}\right)}$ – это автоморфизм Фробениуса в подгруппе разложения точки ${\displaystyle v}$. Согласно теореме плотности Чеботарёва любой элемент группы ${\displaystyle G(L/K)}$ имеет вид ${\displaystyle \left({\frac {L/K}{\mathfrak {c}}}\right)}$ для бесконечного числа простых дивизоров ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ поля ${\displaystyle K}$.

Например, максимальное абелево неразветвлённое расширение числового поля ${\displaystyle K}$ (называемое гильбертовым полем классов) – это поле, норменная подгруппа которого совпадает с образом относительно проекции ${\displaystyle I_{K}\rightarrow C_{K}}$ группы ${\displaystyle K^{*}\times \prod _{v}U\left(K_{v}\right)}$, где ${\displaystyle v}$ пробегает все точки поля ${\displaystyle K}$. Группа ${\displaystyle I_{K}/K^{*}\times \prod _{v}U\left(K_{v}\right)}$ канонически изоморфна группе классов дивизоров ${\displaystyle \mathrm {Cl} _{K}}$ поля ${\displaystyle K}$, что дает важный изоморфизм ${\displaystyle G(F/K)\simeq \mathrm {Cl} _{K}}$. В частности, над ${\displaystyle K}$ нет неразветвлённых абелевых расширений тогда и только тогда, когда поле ${\displaystyle K}$ одноклассно.

Тип разложения простого дивизора с поля ${\displaystyle K}$ в ${\displaystyle F}$ полностью определяется классом ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ в ${\displaystyle \mathrm {Cl} _{\mathfrak {c}}}$. Вполне распадаются в ${\displaystyle F}$ все главные дивизоры и только они. Все дивизоры поля ${\displaystyle K}$ становятся главными в ${\displaystyle F}$.

Подобно тому как теорию полей классов для абелевых неразветвлённых расширений можно излагать на языке группы классов дивизоров и её подгрупп, можно дать характеризацию любого конечного абелева расширения поля ${\displaystyle K}$ в терминах группы лучевых классов по некоторому модулю (см. Алгебраическая теория чисел). Существует также обобщение теории полей классов на случай бесконечных расширений Галуа (^[2]).

Хотя теория полей классов возникла как теория абелевых расширений, её результаты дают важную информацию и для неабелевых расширений Галуа. Например, на теории полей классов основано доказательство существования бесконечных башен полей классов.