Проконечная группа

Проконе́чная гру́ппа, топологическая группа, являющаяся проективным пределом системы конечных групп ${\displaystyle G_{i}}$, ${\displaystyle i\in I}$, снабжённых дискретной топологией (${\displaystyle I}$ – предупорядоченное множество). Проконечная группа ${\displaystyle G}$ обозначается ${\displaystyle \varprojlim G_{i}}$. Как подпространство прямого произведения ${\displaystyle \prod _{i\in I}G_{i}}$, снабжённого компактной топологией (базой окрестностей единицы является система ядер проекций ${\displaystyle {\ce {\prod _{i\in I}G_{i}->G_{i}}}}$), она замкнута и потому компактна.

Примеры. 1) Пусть ${\displaystyle I}$ – множество целых чисел, бо́льших нуля, с естественным отношением порядка и ${\displaystyle G_{i}=\mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z} }$. Пусть ${\displaystyle {{\ce {\tau_i^{i+1}: G_{i+1}-> G_i}}}}$ – естественный эпиморфизм и

${\displaystyle \tau _{i}^{j}=\tau _{i}^{i+1}\tau _{i+1}^{i+2}\cdots \tau _{j-1}^{j}}$

для любых ${\displaystyle i<j}$. Тогда ${\displaystyle \varprojlim G_{i}}$ – (аддитивная) группа кольца ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ целых ${\displaystyle p}$-адических чисел.

2) Всякая компактная аналитическая группа над полем ${\displaystyle p}$-адических чисел [например, ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}\left(\mathbb {Z} _{p}\right)}$] является (как топологическая группа) проконечной группой.

3) Пусть ${\displaystyle G}$ – абстрактная группа и ${\displaystyle \left\{H_{i},i\in I\right\}}$ – семейство всех её нормальных делителей конечного индекса. На ${\displaystyle I}$ можно ввести отношение ${\displaystyle \leqslant }$, положив ${\displaystyle i\leqslant j}$, если ${\displaystyle H_{i}\supseteq H_{j}}$. Это отношение превращает ${\displaystyle I}$ в предупорядоченное множество. Сопоставляя каждому ${\displaystyle i\in I}$ группу ${\displaystyle G/H_{i}}$ и каждой паре ${\displaystyle i\leqslant j}$ из ${\displaystyle I}$ – естественный гомоморфизм ${\displaystyle {{\ce {\tau_i^j: G / H_j -> G / H_i}}}}$, получают проконечную группу ${\displaystyle {\widehat {G}}=\varprojlim G/H_{i}}$, называемую ассоциированной с ${\displaystyle G}$ проконечной группой: она является отделимым пополнением группы ${\displaystyle G}$ относительно топологии, определённой подгруппами конечного индекса. Ядро естественного гомоморфизма ${\displaystyle {\ce {G->{\widehat {G}}}}}$ является пересечением всех подгрупп конечного индекса. В этой конструкции можно было бы вместо семейства всех нормальных делителей конечного индекса рассматривать лишь те, индекс которых есть степень фиксированного простого числа ${\displaystyle p}$. Соответствующая группа обозначается ${\displaystyle {\widehat {G}}_{p}}$ и является про-p-группой.

4) Проконечные группы следующим образом естественно возникают в теории Галуа (вообще говоря, бесконечных) алгебраических расширений полей. Пусть ${\displaystyle K/k}$ – расширение Галуа и ${\displaystyle \left\{K_{i}/k,i\in I\right\}}$ – семейство всех конечных расширений Галуа поля ${\displaystyle k}$, лежащих в ${\displaystyle K}$. Тогда ${\displaystyle K=\bigcup _{i\in I}K_{i}}$. На ${\displaystyle I}$ можно ввести отношение ${\displaystyle \leqslant }$, положив ${\displaystyle i\leqslant j}$, если ${\displaystyle K_{i}\subseteq K_{j}}$. Тогда ${\displaystyle I}$ становится предупорядоченным множеством. Пусть ${\displaystyle \mathrm {Gal} K_{i}/k}$ – группа Галуа расширения ${\displaystyle K_{i}/k}$. Каждой паре ${\displaystyle i\leqslant j}$ из ${\displaystyle I}$ сопоставляется естественный гомоморфизм

${\displaystyle {\ce {\tau _{i}^{j}:\mathrm {Gal} K_{j}/k->\mathrm {Gal} K_{i}/k}}}$.

Тогда соответствующая проконечная группа ${\displaystyle \varprojlim \mathrm {Gal} K_{i}/k}$ (абстрактно) изоморфна группе ${\displaystyle \mathrm {Gal} K/k}$, что позволяет считать ${\displaystyle \mathrm {Gal} K/k}$ проконечной группой. Система подгрупп ${\displaystyle \mathrm {Gal} K/K_{i}}$ образует в ${\displaystyle \mathrm {Gal} K/k}$ систему окрестностей единицы (см. в статье Топологическая группа Галуа). Эта конструкция получает обобщение в алгебраической геометрии при определении фундаментальной группы схемы. Проконечные группы могут быть охарактеризованы как компактные вполне несвязные группы, а также как компактные группы, у которых имеется множество открытых нормальных делителей, образующее систему окрестностей единицы. Теория когомологий проконечных групп (см. Когомологии групп, Когомологии Галуа) играет важную роль в современной теории Галуа.