Связная компонента единицы

Свя́зная компоне́нта едини́цы группы ${\displaystyle G}$, наибольшее связное подмножество ${\displaystyle G^{\circ }}$ топологической (или алгебраической) группы ${\displaystyle G}$, содержащее единицу этой группы. Cвязная компонента единицы ${\displaystyle G^{\circ }}$ является замкнутой нормальной подгруппой в ${\displaystyle G}$; смежные классы по этой подгруппе совпадают со связными компонентами группы ${\displaystyle G}$. Факторгруппа ${\displaystyle G/G^{\circ }}$ вполне несвязна и хаусдорфова, причём ${\displaystyle G^{\circ }}$ – наименьшая из таких нормальных подгрупп ${\displaystyle H\subset G}$, что ${\displaystyle G/H}$ вполне несвязна. Если ${\displaystyle G}$ локально связна (например, ${\displaystyle G}$ – группа Ли), то ${\displaystyle G^{\circ }}$ открыта в ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle G/G^{\circ }}$ дискретна.

В произвольной алгебраической группе ${\displaystyle G}$ связная компонента единицы ${\displaystyle G^{\circ }}$ также открыта и имеет конечный индекс, причём ${\displaystyle G^{\circ }}$ является минимальной замкнутой подгруппой конечного индекса в ${\displaystyle G}$. Связные компоненты алгебраической группы ${\displaystyle G}$ совпадают с неприводимыми компонентами. Для любого регулярного гомоморфизма ${\displaystyle \varphi :G\to G'}$ алгебраических групп справедливо равенство ${\displaystyle \varphi (G^{\circ })=\varphi (G)^{\circ }}$. Если ${\displaystyle G}$ определена над некоторым полем ${\displaystyle k}$, то и ${\displaystyle G^{\circ }}$ определена над ${\displaystyle k}$.

Если ${\displaystyle G}$ – алгебраическая группа над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$, то её связная компонента единицы ${\displaystyle G^{\circ }}$ совпадает со связной компонентой единицы группы ${\displaystyle G}$, рассматриваемой как комплексная группа Ли. Если ${\displaystyle G}$ определена над ${\displaystyle \mathbb {R} }$, то группа ${\displaystyle G^{\circ }(\mathbb {R} )}$ вещественных точек в ${\displaystyle G^{\circ }}$ не обязательно связна в топологии группы Ли ${\displaystyle G(\mathbb {R} )}$, но число её связных компонент конечно и имеет вид ${\displaystyle 2^{l}}$, где ${\displaystyle l\geq 0}$. Например, группа ${\displaystyle {\rm {GL}}_{n}(\mathbb {C} )}$ распадается на две компоненты, хотя ${\displaystyle {\rm {GL}}_{n}(\mathbb {R} )}$ связна. Псевдоортогональная унимодулярная группа ${\displaystyle {\rm {SO}}(p,q)}$, которая может рассматриваться как группа вещественных точек связной комплексной алгебраической группы ${\displaystyle {\rm {SO}}_{p+q}(\mathbb {C} )}$, связна при ${\displaystyle p=0}$ или ${\displaystyle q=0}$ и распадается на две компоненты при ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q>0}$.