Суперпространство

Суперпростра́нство, векторное пространство ${\displaystyle V}$ над полем ${\displaystyle k}$, наделённое ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-градуировкой ${\displaystyle V=V_{\overline {0}}\oplus V_{\overline {1}}}$. Элементы пространств ${\displaystyle V_{\overline {0}}}$ и ${\displaystyle V_{\overline {1}}}$ называются соответственно чётными и нечётными; для ${\displaystyle x\in V_{i}}$ определена чётность ${\displaystyle p(x)=i}$ ${\displaystyle (i\in \mathbb {Z} _{2}=\{0,1\})}$. С каждым суперпространством ${\displaystyle V}$ связано cуперпространство ${\displaystyle \Pi (V)}$ такое, что ${\displaystyle \Pi (V)_{i}=V_{i+{\overline {1}}}\left(i\in \mathbb {Z} _{2}\right)}$. Размерностью суперпространства ${\displaystyle V}$ называется пара ${\displaystyle (m,n)}$, где ${\displaystyle m=\operatorname {dim} V_{\overline {0}}}$, ${\displaystyle n=\operatorname {dim} V_{\overline {1}}}$. Поле ${\displaystyle k}$ обычно рассматривается как суперпространство размерности ${\displaystyle (1,0)}$.

Для суперпространства ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle W}$ естественным образом определяется структура суперпространства в пространствах ${\displaystyle V\oplus W}$, ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{k}(V,W)}$, ${\displaystyle V^{*}}$ и т. д. В частности, линейное отображение ${\displaystyle \varphi :V\rightarrow W}$ чётно, если ${\displaystyle \varphi \left(V_{i}\right)\subset W_{i}}$, и нечётно, если ${\displaystyle \varphi \left(V_{i}\right)\subset W_{i+{\overline {1}}}}$. Однородная билинейная форма ${\displaystyle \beta \in V^{*}\oplus V^{*}}$ называется симметрической, если

${\displaystyle \beta (y,x)=(-1)^{p(x)p(y)+p(\beta )(p(x)+p(y))}\beta (x,y)}$,

и кососимметрической, если

${\displaystyle \beta (y,x)=-(-1)^{p(x)p(y)+p(\beta )(p(x)+p(y))}\beta (x,y)}$.

Все эти понятия переносятся на ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-градуированные свободные модули ${\displaystyle V}$ над произвольной коммутативной супералгеброй ${\displaystyle C}$. Базис в ${\displaystyle V}$ обычно выбирается так, чтобы первые его векторы были чётными, а последние нечётными. Любой эндоморфизм ${\displaystyle \varphi }$ модуля ${\displaystyle V}$ записывается в таком базисе блочной матрицей ${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha =\left\|{\begin{matrix}X&Y\\Z&T\end{matrix}}\right\|\end{aligned}}}$, где ${\displaystyle X\in M_{n}(C)}$, ${\displaystyle T\in M_{m}(C)}$, причём, если ${\displaystyle \varphi }$ чётен, то ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle T}$ состоят из чётных, а ${\displaystyle Y}$ и ${\displaystyle Z}$ из нечётных элементов (матрица ${\displaystyle \alpha }$ чётна), а если ${\displaystyle \varphi }$ нечётен, то ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle T}$ состоят из нечётных, а ${\displaystyle Y}$ и ${\displaystyle Z}$ из чётных элементов (${\displaystyle \alpha }$ нечётна).