Стохастический интеграл

Стохасти́ческий интегра́л, интеграл «${\displaystyle \int HdX}$» по семимартингалу ${\displaystyle X}$, определённый для всякого локально ограниченного предсказуемого процесса ${\displaystyle H=\left(H_{t},{\mathcal {F}}_{t}\right)}$. Одна из возможных конструкций стохастического интеграла состоит в следующем. Сначала стохастический интеграл определяется для простых предсказуемых процессов ${\displaystyle H}$, имеющих вид

{{center|${\displaystyle H_{t}=h(\omega )I_{(a,b]}(t),\quad a<b}$.

В этом случае под стохастическим интегралом ${\displaystyle \int _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s}}$ [или ${\displaystyle (H\cdot X)_{t}}$, или ${\displaystyle \int _{(t,0]}H_{s}\,dX_{s}}$] понимают величину</b<></math>

${\displaystyle h(\omega )\left(X_{b\wedge t}-X_{a\wedge t}\right)}$.

Отображение ${\displaystyle H\sim \rightarrow H\cdot X}$, где

${\displaystyle H\cdot X=(H\cdot X)_{t},\quad t\geqslant 0}$,

допускает продолжение (обозначаемое ${\displaystyle H\cdot X}$) на множество всех ограниченных предсказуемых функций, обладающее следующими свойствами:

a) процесс ${\displaystyle (H\cdot X)_{t}}$, ${\displaystyle t\geqslant 0}$, является непрерывным справа и имеющим пределы слева;

б) ${\displaystyle H\sim \rightarrow H\cdot X}$ линейно, т. е.

${\displaystyle \left(cH_{1}+H_{2}\right)\cdot X=c\left(H_{1}\cdot X\right)+H_{2}\cdot X}$;

в) если ${\displaystyle \left\{H^{n}\right\}}$ – последовательность предсказуемых равномерно ограниченных функций, ${\displaystyle H}$ – предсказуемая функция и

${\displaystyle \sup _{s\leqslant t}\left|H_{s}^{n}-H_{s}\right|{\stackrel {\mathrm {P} }{\longrightarrow }}0,\quad t>0}$,

тo

${\displaystyle \left(H^{n}\cdot X\right)_{t}{\stackrel {\mathrm {P} }{\longrightarrow }}(H\cdot X)_{t},\quad t>0}$.

При этом продолжение ${\displaystyle H\cdot X}$ единственно в том смысле, что если ${\displaystyle H\sim \rightarrow \alpha (H)}$ – другое отображение со свойствами а) – в), то ${\displaystyle H\cdot X}$ и ${\displaystyle \alpha (H)}$ стохастически неразличимы.

Определение

${\displaystyle (H\cdot X)_{t}=h(\omega )\left(X_{b\wedge t}-X_{a\wedge t}\right)}$,

данное для функций ${\displaystyle H_{t}=h(\omega )I_{(a,b]}(t)}$, имеет смысл для любого процесса ${\displaystyle X}$, а не только для семимартингала. Продолжение ${\displaystyle H\cdot X}$ с указанными свойствами а) – в) на класс ограниченных предсказуемых процессов оказывается возможным лишь для того случая, когда ${\displaystyle X}$ есть семимартингал. В этом смысле класс семимартингалов является тем максимальным классом, для которого определён стохастический интеграл с естественными свойствами а) – в).

Если ${\displaystyle X}$ – семимартингал, а ${\displaystyle T=T(\omega )}$ – марковский момент, то «остановленный процесс» ${\displaystyle X^{T}=\left(X_{t\wedge T},{\mathcal {F}}_{t}\right)}$ также является семимартингалом и для всякого предсказуемого ограниченного процесса ${\displaystyle H}$:

${\displaystyle (H\cdot X)^{T}=H\cdot X^{T}=\left(HI_{[\![0,T]\!]}\right)\cdot X}$.

Это свойство позволяет распространить определение стохастического интеграла и на класс локально ограниченных предсказуемых функций ${\displaystyle H}$. Если ${\displaystyle T_{n}}$ – локализующая (для ${\displaystyle H}$) последовательность марковских моментов, то ${\displaystyle H^{T_{n}}}$ ограниченны. Значит, ${\displaystyle H\cdot I_{[\![0,T]\!]}}$ ограниченны и

${\displaystyle \left[\left(HI_{[\![0,T_{n+1}]\!]}\right)\cdot X\right]^{T_{n}}}$

стохастически неотличим от ${\displaystyle HI_{[\![0,T_{n}]\!]}\cdot X}$. Поэтому существует такой процесс ${\displaystyle H\cdot X}$, называемый снова стохастическим интегралом, что

${\displaystyle (H\cdot X)^{T_{n}}=HI_{[\![0,T_{n}]\!]}\cdot X,\quad n\geqslant 0}$.

Построенный стохастический интеграл ${\displaystyle H\cdot X}$ обладает свойствами: ${\displaystyle H\cdot X}$ – семимартингал; отображение ${\displaystyle X\sim \rightarrow H\cdot X}$ линейно; если ${\displaystyle X}$ – процесс локально ограниченной вариации, то таков же и интеграл ${\displaystyle H\cdot X}$; при этом ${\displaystyle H\cdot X}$ совпадает с интегралом Стилтьеса от ${\displaystyle H}$ по ${\displaystyle dX}$; ${\displaystyle \Delta (H\cdot X)=H\Delta X}$; ${\displaystyle K\cdot (H\cdot X)=(KH)\cdot X}$.

В зависимости от дополнительных предположений на ${\displaystyle X}$ стохастический интеграл ${\displaystyle H\cdot X}$ удаётся определить и для более широкого класса функций ${\displaystyle H}$. Например, если ${\displaystyle X}$ является локально квадратично интегрируемым мартингалом, то стохастический интеграл ${\displaystyle H\cdot X}$ [со свойствами а) – в)] можно определить для любого предсказуемого процесса ${\displaystyle H}$, обладающего тем свойством, что процесс

${\displaystyle \left(\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,d\langle X\rangle _{s}\right)_{t\geqslant 0}}$

локально интегрируем (здесь${\displaystyle \langle X\rangle }$ – квадратическая вариация ${\displaystyle X}$, т. е. такой предсказуемый возрастающий процесс, что ${\displaystyle X^{2}-\langle X\rangle }$ есть локальный мартингал).