Характеристический многочлен матрицы

Характеристи́ческий многочле́н ма́трицы ${\displaystyle A=\left\|a_{ij}\right\|_{1}^{n}}$ над полем ${\displaystyle K}$, многочлен над полем ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p(\lambda )&=\operatorname {det} (A-\lambda E)={\begin{Vmatrix}a_{11}-\lambda &a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}-\lambda &\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}-\lambda \end{Vmatrix}}\\&=(-\lambda )^{n}+b_{1}(-\lambda )^{n-1}+\ldots +b_{n-1}(-\lambda )+b_{n}.\end{aligned}}}$

Степень характеристического многочлена равна порядку квадратной матрицы ${\displaystyle A}$, коэффициент ${\displaystyle b_{1}}$ равен следу матрицы ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \left(b_{1}=\operatorname {tr} A=a_{11}+a_{22}+\ldots +a_{nn}\right)}$, коэффициент ${\displaystyle b_{m}}$ равен сумме всех главных миноров ${\displaystyle m}$-го порядка, в частности ${\displaystyle b_{n}=\operatorname {det} A}$. Уравнение ${\displaystyle p(\lambda )=0}$ называется характеристическим уравнением матрицы ${\displaystyle A}$ или вековым уравнением.

Корни характеристического многочлена, лежащие в ${\displaystyle K}$, называются характеристическими значениями или собственными значениями матрицы ${\displaystyle A}$. Если ${\displaystyle K}$ – числовое поле, употребляются также термины «характеристические числа» или «собственные числа». Иногда рассматривают корни характеристического многочлена в алгебраическом замыкании поля ${\displaystyle K}$. Их обычно называют характеристическими корнями матрицы ${\displaystyle A}$. Матрица ${\displaystyle A}$ порядка ${\displaystyle n}$, рассматриваемая над алгебраически замкнутым полем (например, над полем комплексных чисел), имеет ${\displaystyle n}$ собственных значений ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}}$, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. См. также Собственное значение.

Подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен. Каждый многочлен над ${\displaystyle K}$ со старшим коэффициентом ${\displaystyle (-1)^{n}}$ является характеристическим для некоторой матрицы над ${\displaystyle K}$ порядка ${\displaystyle n}$, называемой матрицей Фробениуса.