Сепарабельный процесс

Сепара́бельный проце́сс, случайный процесс, поведение траекторий которого по существу определяется их поведением на некотором счётном пространстве. Именно, определённый на полном вероятностном пространстве ${\displaystyle \left\{\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathsf {P}}\right\}}$ действительный случайный процесс ${\displaystyle \left\{X_{t},t\in T\right\}}$, где ${\displaystyle T}$ – подмножество действительной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$, сепарабелен относительно класса ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ подмножеств ${\displaystyle \mathbb {R} }$, если существует счётное множество ${\displaystyle T_{1}\subset T}$ (сепаранта) и множество ${\displaystyle N\in {\mathcal {F}}}$, ${\displaystyle {\mathsf {P}}(N)=0}$, такое, что для любого ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ и любого открытого интервала ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$

${\displaystyle \bigcap _{t\in I\cap T_{1}}\{X_{t}\in A\}\setminus \bigcap _{t\in I\cap T}\{X_{t}\in A\}\subset N}$.

Наиболее важны понятия сепарабельности относительно класса замкнутых множеств и относительно класса замкнутых интервалов (в последнем случае процесс называется просто сепарабельным). Если процесс ${\displaystyle \left\{X_{t},t\in T\right\}}$ сепарабелен, то для любого ${\displaystyle \omega \notin N}$ и любого открытого интервала ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\inf _{t\in I\cap T_{1}}X_{t}(\omega )=\inf _{t\in I\cap T}X_{t}(\omega ),\quad \sup _{t\in I\cap T_{1}}X_{t}(\omega )=\sup _{t\in I\cap T}X_{t}(\omega ),\\\inf _{t\in I\cap T_{1}}X_{t}(\omega )\leqslant X_{t}(\omega )\leqslant \sup _{t\in I\cap T}X_{t}(\omega ),\quad t\in I\cap T,\\\left.{\begin{aligned}\liminf _{u\to t,\ u\in T_{1}}X_{u}(\omega )=\liminf _{u\to t,\ u\in T_{1}}X_{u}(\omega )\\\limsup _{u\to t,\ u\in T_{1}}X_{u}(\omega )=\limsup _{u\to t,\ u\in T_{1}}X_{u}(\omega )\quad t\in {\overline {T}},\quad \end{aligned}}\right\}\\\liminf _{u\to t,\ u\in T_{1}}X_{u}(\omega )\leqslant X_{t}(\omega )\leqslant \limsup _{u\to t,\ u\in T_{1}}X_{u}(\omega ),\quad t\in T.\end{aligned}}}$

Каждое из свойств (1) – (4) равносильно сепарабельности. Если ${\displaystyle t}$ – левая предельная точка множества ${\displaystyle T}$, то существует последовательность ${\displaystyle t_{n}{\downarrow }t}$ точек из ${\displaystyle T}$ такая, что

${\displaystyle \liminf _{n}X_{t_{n}}=\liminf _{u\to t{+}0}X_{u},\quad \limsup _{n}X_{t_{n}}=\limsup _{u\to t{+}0}X_{u}}$

с вероятностью ${\displaystyle 1}$ (аналогично для пределов справа). Если ${\displaystyle \left\{X_{t},t\in T\right\}}$ – сепарабельный случайный процесс, непрерывный по вероятности, то любое всюду плотное в ${\displaystyle T}$ счётное множество ${\displaystyle T_{1}\subset T}$ является сепарантой; кроме того, для любого открытого интервала ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle I\cap T\neq \varnothing }$, и любой последовательности ${\displaystyle s_{n}=\{s_{nk},k\leqslant k_{n}\}}$ конечных подмножеств ${\displaystyle I\cap T}$, удовлетворяющей условию ${\displaystyle \sup \limits _{t\in I\cap T}\inf \limits _{k}\mid t-s_{nk}\mid \to 0}$,

${\displaystyle \inf _{k}X_{s_{nk}}\to \inf _{t\in I\cap T}X_{t},\quad \sup _{k}X_{s_{nk}}\to \sup _{t\in I\cap T}X_{t}}$ (5)

по вероятности. Сходимость в (5) можно заменить сходимостью с вероятностью ${\displaystyle 1}$, если процесс ${\displaystyle \left\{X_{t},t\in T\right\}}$ непрерывен с вероятностью ${\displaystyle 1}$.

Для всякого случайного процесса ${\displaystyle \left\{X_{t},t\in T\right\}}$ существует на том же вероятностном пространстве сепарабельный относительно класса замкнутых множеств процесс ${\displaystyle \left\{{\tilde {X}}_{t},t\in T\right\}}$, принимающий значения из расширенной числовой прямой, и такой, что ${\displaystyle {\mathsf {P}}\{{\tilde {X}}_{t}=X_{t}\}=1}$, ${\displaystyle t\in T}$. Понятие сепарабельности и его свойства обобщаются на процессы, у которых ${\displaystyle T}$ и область значений суть различные общие топологические пространства. Переход к сепарабельным процессам позволяет утверждать применимость ряда важных функционалов и множеств, связанных с процессом. Альтернативный подход состоит не в изменении случайных величин, образующих процесс, а в расширении σ-алгебры, на которой он определён (например, в случае функционального пространства – произведения хаусдорфовых компактов меру с обычной ${\displaystyle \sigma }$-алгебры, порождённой цилиндрическими множествами, можно однозначно продолжить на весьма богатую ${\displaystyle \sigma }$-алгебру борелевских множеств).