Ряд Эджворта

Ряд Э́джворта, ряд, определяемый выражением

${\displaystyle f(x)=\varphi (x)+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\,{\frac {b_{k,k+2}\varphi ^{(k+2)}(x)+\ldots +b_{k,3k}\varphi ^{(3k)}(x)}{n^{k/2}}}}$ (*).

Здесь ${\displaystyle f(x)}$ – плотность распределения случайной величины

${\displaystyle {\frac {s_{n}-{\mathsf {E}}s_{n}}{\sqrt {{\mathsf {D}}s_{n}}}}}$

(${\displaystyle s_{n}=\xi _{1}+\ldots +\xi _{n}}$, ${\displaystyle \xi _{1},\ldots ,\xi _{n}}$ – независимы и одинаково распределены),

${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}}$

плотность стандартного нормального распределения,

${\displaystyle \varphi ^{(k)}(x)={\frac {d^{k}\varphi (x)}{dx^{k}}}}$.

Коэффициенты ${\displaystyle b_{k,k+2l}}$ не зависят от ${\displaystyle n}$ и представляют собой многочлены относительно ${\displaystyle \lambda _{3},\ldots ,\lambda _{k-l+3}}$, где ${\displaystyle \lambda _{j}=\varkappa _{j}/\sigma ^{j}}$, ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ – дисперсия, а ${\displaystyle \varkappa _{j}}$ – семиинвариант порядка ${\displaystyle j}$ случайной величины ${\displaystyle \xi _{1}}$. В частности, первые члены разложения имеют вид:

${\displaystyle f(x)=\varphi (x)-{\frac {1}{n^{1/2}}}{\frac {1}{3!}}\lambda _{3}\varphi ^{(3)}(x)+\ +{\frac {1}{n}}\left[{\frac {1}{4!}}\lambda _{4}\varphi ^{(4)}(x)+{\frac {10}{6!}}\lambda _{3}^{2}\varphi ^{(6)}(x)\right]-\ -{\frac {1}{n^{3/2}}}\left[{\frac {1}{5!}}\lambda _{5}\varphi ^{(5)}(x)+{\frac {35}{7!}}\lambda _{3}\lambda _{4}\varphi ^{(7)}(x)+{\frac {280}{9!}}\lambda _{3}^{3}\varphi ^{(9)}(x)\right]+\ldots .}$

Коэффициенты ${\displaystyle b_{k,k+2l}}$ могут быть выражены также через центральные моменты.

Ряды (*) введены Ф. И. Эджвортом (Еdgeworth. 1905). Их асимптотические свойства исследованы Х. Крамером, который показал, что при довольно общих условиях ряд (*) даёт асимптотическое разложение ${\displaystyle f(x)}$ с остаточным членом порядка первого отброшенного члена.