Остаточный член разложения функции

Оста́точный член разложе́ния фу́нкции, слагаемое в формуле, дающей аппроксимацию этой функции с помощью другой, в каком-то смысле более простой, функции. Остаточный член равен разности между заданной функцией и функцией, её аппроксимирующей, тем самым его оценка является оценкой точности рассматриваемой аппроксимации.

К указанным формулам относятся формулы типа формулы Тейлора, интерполяционные формулы, асимптотические формулы, формулы для приближённого вычисления тех или иных величин. Так, в формуле Тейлора

${\displaystyle \displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}+o((x-x_{0})^{n}),\quad x\to x_{0},}$

остаточный член (в форме Пеано) называется слагаемое ${\displaystyle o((x-x_{0})^{n})}$. При асимптотическом разложении функции

${\displaystyle \displaystyle f(x)=a_{0}+{\frac {a_{1}}{x}}+\dots +{\frac {a_{n}}{x^{n}}}+O\left({\frac {1}{x^{n+1}}}\right),\quad x\to \infty ,}$

остаточный член является ${\displaystyle O\left({\frac {1}{x^{n+1}}}\right)}$. В частности, в формуле Стирлинга, дающей асимптотическое разложение гамма-функции

${\displaystyle {\text{Г}}(z+1)={\sqrt {2\pi z}}\left({\dfrac {z}{e}}\right)^{z}+O(e^{-z}z^{z-1/2}),\quad {\text{Re}}z\to \infty ,}$

остаточный член является ${\displaystyle O(e^{-z}z^{z-1/2})}$.