Семиинвариант

Семиинвариа́нт, 1) то же, что полуинвариант.

2) Семиинвариант – одна из числовых характеристик случайных величин, родственная понятию момента старшего порядка. Если ${\displaystyle \xi =\left(\xi _{1},\ldots ,\xi _{k}\right)}$ – случайный вектор, ${\displaystyle \varphi _{\xi }(t)=\mathrm {E} e^{i(t,\xi )}}$ – его характеристическая функция, ${\displaystyle t=\left(t_{1},\ldots ,t_{k}\right)}$, ${\displaystyle t_{i}\in R}$,

${\displaystyle (t,\xi )=\Sigma _{i=1}^{k}t_{i}\xi _{i}}$

и для некоторого ${\displaystyle n\geqslant 1}$ моменты ${\displaystyle \mathrm {E} \left|\xi _{i}\right|^{n}<\infty }$, ${\displaystyle i=1,\ldots ,k}$, то существуют (смешанные) моменты

${\displaystyle m_{\xi }^{\left(\nu _{1},\ldots ,\nu _{k}\right)}=\mathrm {E} _{1}\xi ^{\nu _{1}}\ldots \xi _{k}^{\nu _{k}}}$

для всех неотрицательных целочисленных ${\displaystyle \nu _{1},\ldots ,\nu _{k}}$ таких, что ${\displaystyle \nu _{1}+\ldots +\nu _{k}\leqslant n}$. Тогда

${\displaystyle \varphi _{\xi }(t)=\sum _{\nu _{1}+\ldots +\nu _{k}\leqslant n}{\frac {i^{\nu _{1}+\ldots +\nu _{k}}}{\nu _{1}!\ldots \nu _{k}!}}m_{\xi }^{\left(\nu _{1},\ldots ,\nu _{k}\right)}\times }$
${\displaystyle \quad \times t_{1}^{\nu _{1}}\ldots t_{k}^{\nu _{k}}+o\left(\mid t\mid ^{n}\right),}$

где ${\displaystyle \mid t\mid =\left|t_{1}\right|+\ldots +\left|t_{k}\right|}$ и для достаточно малых ${\displaystyle \mid t\mid }$ главное значение ${\displaystyle \ln \varphi _{\xi }(t)}$ представимо по формуле Тейлора в виде

${\displaystyle \ln \varphi _{\xi }(t)=\sum _{\nu _{1}+\ldots +\nu _{k}\leqslant n}{\frac {i^{\nu _{1}+\ldots +\nu _{k}}}{\nu _{1}!\ldots \nu _{k}!}}s_{\xi }^{\left(\nu _{1},\ldots ,\nu _{k}\right)}\times }$
${\displaystyle \times t_{1}^{\nu _{1}}\ldots t_{k}^{\nu _{k}}+o\left(\mid t\mid ^{n}\right),}$

где коэффициенты ${\displaystyle s_{\xi }^{\left(\nu _{1},\ldots ,\nu _{k}\right)}}$ называются (смешанными) семиинвариантами (или кумулянтами) порядка ${\displaystyle \nu =\left(\nu _{1},\ldots ,\nu _{k}\right)}$ вектора ${\displaystyle \xi =\left(\xi _{1},\ldots ,\xi _{k}\right)}$. Для независимых случайных векторов ${\displaystyle \xi =\left(\xi _{1},\ldots ,\xi _{k}\right)}$ и ${\displaystyle \eta =\left(\eta _{1},\ldots ,\eta _{k}\right)}$

${\displaystyle s_{\xi +\eta }^{\left(\nu _{1},\ldots ,\nu _{k}\right)}=s_{\xi }^{\left(\nu _{1},\ldots ,\nu _{k}\right)}+s_{\eta }^{\left(\nu _{1},\ldots ,\nu _{k}\right)}}$,

т. е. семиинвариант суммы независимых случайных векторов есть сумма семиинвариантов. Именно это и послужило причиной термина «семиинвариант», отражающего свойство аддитивности для случая независимых величин (но это свойство уже, вообще говоря, неверно для зависимых величин).

Между моментами и семиинвариантами справедливы следующие формулы связи:

${\displaystyle m_{\xi }^{(\nu )}=\sum \nolimits ^{*}{\frac {1}{q!}}{\frac {\nu !}{\lambda ^{(1)}!\ldots \lambda ^{(q)}!}}\prod _{p=1}^{q}s_{\xi }^{\left(\lambda ^{(p)}\right)},}$
${\displaystyle s_{\xi }^{(\nu )}=\sum \nolimits ^{*}{\frac {(-1)^{q-1}}{q}}{\frac {\nu !}{\lambda ^{(1)}!\ldots \lambda ^{(q)}!}}\prod _{p=1}^{q}m_{\xi }^{\left(\lambda ^{(p)}\right)},}$

где ${\displaystyle \sum \nolimits ^{*}}$ означает суммирование по всем упорядоченным наборам целых неотрицательных векторов ${\displaystyle \lambda ^{(p)}}$, ${\displaystyle \mid \lambda ^{(p)}\mid >0}$, дающих в сумме вектор ${\displaystyle \nu }$. В частности, если ${\displaystyle \xi }$ – случайная величина ${\displaystyle (k=1)}$, ${\displaystyle m_{n}=m_{\xi }^{(n)}=\mathrm {E} \xi ^{n}}$, ${\displaystyle s_{n}=s_{\xi }^{(n)}}$, то

${\displaystyle m_{1}=s_{1},}$
${\displaystyle m_{2}=s_{2}+s_{1}^{2},}$
${\displaystyle m_{3}=s_{3}+3s_{1}s_{2}+s_{1}^{3},}$
${\displaystyle m_{4}=s_{4}+3s_{2}^{2}+4s_{1}s_{3}+6s_{1}^{2}s_{2}+s_{1}^{4},}$

и

${\displaystyle s_{1}=m_{1}(=\mathrm {E} \xi ),}$
${\displaystyle s_{2}=m_{2}-m_{1}^{2}(=\mathrm {D} \xi ),}$
${\displaystyle s_{3}=m_{3}-3m_{1}m_{2}+2m_{1}^{3},}$
${\displaystyle s_{4}=m_{4}-3m_{2}^{2}-4m_{1}m_{3}+12m_{1}^{2}m_{2}-6m_{1}^{4}.}$