Распределение Рэлея

Распределе́ние Рэле́я, распределение вероятностей случайной величины ${\displaystyle X}$, плотность которого ${\displaystyle p(x)=0}$ при ${\displaystyle x<0}$ и

${\displaystyle p(x)={\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/2\sigma ^{2}}}$

при ${\displaystyle x\geqslant 0}$, где ${\displaystyle \sigma >0}$ – параметр. Все моменты распределения Рэлея конечны, математическое ожидание и дисперсия суть

${\displaystyle {\mathsf {E}}X=\sigma {\sqrt {\pi /2}}}$

и

${\displaystyle {\mathsf {D}}X=(4-\pi )\sigma ^{2}/2}$.

При ${\displaystyle \sigma =1}$ распределение Рэлея совпадает с распределением положительного квадратного корня из случайной величины с распределением хи-квадрат с двумя степенями свободы. Распределение Рэлея имеет распределение длины вектора на плоскости, координаты которого независимы и нормально распределены с параметрами ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle \sigma ^{2}}$. Распределение Рэлея находит применение в теории стрельбы и статистической теории связи. Распределение Рэлея введено Дж. У. Рэлеем (1880) в связи с задачей сложения гармонических колебаний со случайными фазами.