Распределение Гаусса – Лапласа

Распределе́ние Га́усса – Лапла́са, одно из названий нормального распределения, которое наряду с другими названиями (закон Гаусса, гауссовское распределение, второй закон Лапласа, распределение Лапласа – Гаусса и т. д.) связывает историю открытия и первых приложений распределения к различным задачам теории вероятностей с именами К. Ф. Гаусса и П.-С. Лапласа. Нормальное распределение появилось у К. Ф. Гаусса (1809) и П.-С. Лапласа (1812) в связи с исследованиями по теории ошибок и методу наименьших квадратов. Так, в развитой Гауссом для задач астрономии и геодезии теории ошибок наблюдений плотность вероятностей случайных ошибок выражалась функцией

${\displaystyle \varphi (\Delta )={\dfrac {h}{\sqrt {\pi }}}e^{-h^{2}\Delta ^{2}},\quad h>0}$

(см. Закон Гаусса). Лаплас, кроме того, получил интеграл (функцию Лапласа)

${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{\tau }e^{-t^{2}}\,dt}$

как приближённое значение (при больших ${\displaystyle n}$) вероятности того, что число успехов в ${\displaystyle n}$ испытаниях Бернулли с вероятностью успеха ${\displaystyle p}$ будет заключено в пределах ${\displaystyle np-\tau {\sqrt {2np(1-p)}}}$ и ${\displaystyle np+\tau {\sqrt {2np(1-p)}}}$ (т. н. предельная формула Лапласа). Однако соотношение, где нормальное распределение появляется как предельная форма биномиального с ${\displaystyle p=q=1/2}$, было найдено еще А. де Муавром (1733).