Теория ошибок

Тео́рия оши́бок, раздел математической статистики, посвящённый построению выводов о численных значениях приближённо измеренных величин и об ошибках (погрешностях) измерений. Повторные измерения одной и той же постоянной величины дают, как правило, различные результаты, т. к. каждое измерение содержит некоторую ошибку. Различают три основных вида ошибок: систематические, грубые и случайные. Систематические ошибки постоянно либо преувеличивают, либо преуменьшают результаты измерений и происходят от определённых причин (неправильной установки измерительных приборов, влияния окружающей среды и т. д.), систематически влияющих на результаты измерений и изменяющих их в одном направлении. Оценка систематических ошибок производится с помощью методов, выходящих за пределы математической статистики. Например, в астрономии при измерении величины угла между направлением на светило и плоскостью горизонта систематическая ошибка является суммой двух ошибок: систематической ошибки, которую даёт прибор при отсчёте данного угла (инструментальная ошибка) и систематической ошибки, обусловленной преломлением лучей света в атмосфере (рефракция). Инструментальная ошибка учитывается с помощью таблицы или графика поправок для данного прибора; ошибку, связанную с рефракцией (для углов, меньших 80°), можно достаточно точно вычислить теоретически. Грубые ошибки возникают в результате просчёта, неправильного чтения показаний измерительного прибора и т. п. Результаты измерений, содержащие грубые ошибки, как правило, сильно отличаются от других результатов измерений и поэтому часто бывают хорошо заметны. Случайные ошибки происходят от различных случайных причин, действующих при каждом из отдельных измерений непредсказуемым образом то в сторону уменьшения, то в сторону увеличения результата.

Теория ошибок занимается изучением лишь случайных и грубых ошибок. Основные задачи теории ошибок: определение законов распределения случайных ошибок, построение статистических оценок неизвестных величин по результатам измерений, вычисление погрешностей таких оценок и устранение грубых ошибок.

Пусть в результате ${\displaystyle n}$ независимых измерений некоторой неизвестной величины ${\displaystyle \mu }$ получены значения ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$. Разности

${\displaystyle \delta _{1}=X_{1}-\mu ,\,\delta _{2}=X_{2}-\mu ,\,\dots ,\,\delta _{n}=X_{n}-\mu }$

называются истинными ошибками; в терминах вероятностной теории ошибок все ${\displaystyle \delta _{i}}$ рассматриваются как случайные величины, независимость измерений понимается как взаимная независимость случайных величин ${\displaystyle \delta _{1},\dots ,\delta _{n}}$. При этом измерения называются равноточными (в широком смысле), если эти величины имеют одно и то же распределение. Т. о., истинные ошибки равноточных измерений суть независимые одинаково распределённые случайные величины. При этом математическое ожидание истинных ошибок ${\displaystyle b={\text{E}}\delta _{1}=\ldots ={\text{E}}\delta _{n}}$ называется систематической ошибкой, а разности ${\displaystyle \delta _{1}-b,\dots ,\delta _{n}-b}$ – случайными ошибками. Отсутствие систематической ошибки означает, что ${\displaystyle b=0}$, в этом случае ${\displaystyle \delta _{1},\dots ,\delta _{n}}$ суть случайные ошибки. Величину ${\displaystyle 1/({\sqrt {2}}\sigma )}$, где ${\displaystyle \sigma }$ – квадратичное отклонение ошибок ${\displaystyle \delta _{1},\dots ,\delta _{n}}$, называют мерой точности (при наличии систематической ошибки мера точности есть ${\displaystyle 1/{\sqrt {2(b^{2}+\sigma ^{2})}}}$. Равноточность измерений в узком смысле понимается как одинаковость меры точности всех результатов измерений. Наличие грубых ошибок означает нарушение равноточности (как в широком, так и в узком смысле) для некоторых отдельных измерений.

В качестве оценки неизвестной величины ${\displaystyle \mu }$ обычно берут арифметическое среднее из результатов измерений ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$:

${\displaystyle \displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$,

а разности ${\displaystyle \Delta _{1}=X_{1}-{\overline {X}},\dots ,\Delta _{n}-{\overline {X}}}$ называются кажущимися ошибками. Выбор ${\displaystyle {\overline {X}}}$ в качестве оценки для ${\displaystyle \mu }$ основан на том, что при достаточно большом числе ${\displaystyle n}$ равноточных измерений, лишённых систематической ошибки, оценка ${\displaystyle {\overline {X}}}$ с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, сколь угодно мало отличается от неизвестной величины ${\displaystyle \mu }$ (это связано с Законом больших чисел); оценка ${\displaystyle {\overline {X}}}$ лишена систематической ошибки (оценки с таким свойством называются несмещёнными оценками); дисперсия этой оценки есть

${\displaystyle D{\overline {X}}=E({\overline {X}}-\mu )^{2}=\sigma ^{2}/n}$.

Опыт показывает, что практически очень часто случайные ошибки имеют распределения, близкие к нормальным (это объясняется центральной предельной теоремой). В этом случае распределение величины ${\displaystyle {\overline {X}}}$ мало отличается от нормального распределения с математическим ожиданием ${\displaystyle \mu }$ и дисперсией ${\displaystyle \sigma ^{2}/n}$. Если распределение величин ${\displaystyle \delta _{1},\dots ,\delta _{n}}$ в точности нормально, то дисперсия всякой другой несмещённой оценки для ${\displaystyle \mu }$, например медианы, не меньше ${\displaystyle D{\overline {X}}}$. Если же распределение величин ${\displaystyle \delta _{1},\dots ,\delta _{n}}$ отлично от нормального, то последнее свойство может не иметь места.

Если дисперсия ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ отдельных измерений заранее неизвестна, то для её оценки пользуются величиной

${\displaystyle \displaystyle s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\Delta _{i}^{2}}$;

${\displaystyle s^{2}}$ – несмещённая оценка для ${\displaystyle \sigma ^{2}}$, т. к. ${\displaystyle Es^{2}=\sigma ^{2}}$.

Если случайные ошибки ${\displaystyle \delta _{1},\dots ,\delta _{n}}$ имеют нормальное распределение, то отношение

${\displaystyle t={\dfrac {({\overline {X}}-\mu ){\sqrt {n}}}{s}}}$

имеет распределение Стьюдента с ${\displaystyle n-1}$ степенью свободы. Этим можно воспользоваться для оценки погрешности приближённого равенства ${\displaystyle \mu \approx {\overline {X}}}$ (см. Метод наименьших квадратов). Величина

${\displaystyle \chi ^{2}={\dfrac {(n-1)s^{2}}{\sigma ^{2}}}}$

при тех же предположениях имеет распределение хи-квадрат с ${\displaystyle n-1}$ степенью свободы. Это позволяет оценить погрешность приближённого равенства ${\displaystyle \sigma \approx s}$. Относительная погрешность ${\displaystyle \mid s-\sigma \mid /s}$ не превосходит числа ${\displaystyle q}$ с вероятностью

${\displaystyle \omega =F(z^{2},n-1)-F(z_{1},n-1)}$,

где ${\displaystyle F(z,n-1)}$ – функция распределения хи-квадрат, а

${\displaystyle z_{1}={\dfrac {\sqrt {n-1}}{1+q}},\quad z_{2}={\dfrac {\sqrt {n-1}}{1-q}}}$.