Закон Гаусса

Зако́н Га́усса (нормальное распределение, распределение Гаусса), употребительное название нормального распределения. Название связано с той ролью, которую это распределение играет в теории ошибок К. Ф. Гаусса. Плотности

${\displaystyle {\frac {h}{\sqrt {\pi }}}e^{-h^{2}x^{2}},\quad h>0,}$ (*)

(именно они первоначально назывались законом Гаусса) появились у К. Ф. Гаусса в сочинении «Теория движения небесных тел» (1809). В книге 2, раздел 3, § 177 был сформулирован принцип: «Если какая-нибудь величина будет определена из многих непосредственных наблюдений, произведённых при одинаковых обстоятельствах и с одинаковой тщательностью, то среднее арифметическое из всех наблюдавшихся значений окажется наиболее вероятным значением…» (см. Гаусс. 1957.^[1] C. 89–109). Это положение интерпретируется следующим образом: пусть истинное значение наблюдаемой величины будет ${\displaystyle z}$ и пусть плотность вероятности получить результат ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle \varphi (x-z)}$. Тогда при любом ${\displaystyle n}$ и любых ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ совместная плотность ${\displaystyle \varphi (x_{1}-z)\ldots \varphi (x_{n}-z)}$ достигает максимума (как функция ${\displaystyle z}$) при

${\displaystyle z={\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}}$.

Отсюда легко получить сначала, что отношение ${\displaystyle \varphi '(x)/x\varphi (x)}$ не зависит от ${\displaystyle x}$, а затем, что ${\displaystyle \varphi (x)}$ имеет вид (*). Следует отметить, что указанный выше принцип неоднократно подвергался критике.