Проективная группа

Проекти́вная гру́ппа от ${\displaystyle n}$ переменных над телом ${\displaystyle K}$, группа ${\displaystyle PGL_{n}(K)}$ преобразований ${\displaystyle (n-1)}$-мерного проективного пространства ${\displaystyle P_{n-1}(K)}$, индуцированных невырожденными линейными преобразованиями пространства ${\displaystyle K^{n}}$. Имеется естественный эпиморфизм

${\displaystyle P:GL_{n}(K)\rightarrow PGL_{n}(K),}$

ядром которого служит группа гомотетий пространства ${\displaystyle K^{n}}$, изоморфная мультипликативной группе ${\displaystyle Z^{*}}$ центра ${\displaystyle Z}$ тела ${\displaystyle K}$. Элементы группы ${\displaystyle PGL_{n}(K)}$, называемые проективными преобразованиями, являются коллинеациями пространства ${\displaystyle P_{n-1}(K)}$. Наряду с группой ${\displaystyle PGL_{n}(K)}$, называемой также полной проективной группой, рассматривают унимодулярную проективную группу ${\displaystyle PSL_{n}(K)}$ и вообще группы вида ${\displaystyle P(G)}$, где ${\displaystyle G}$ – некоторая линейная группа.

При ${\displaystyle n\geq 2}$ группа ${\displaystyle PSL_{n}(K)}$ проста, за исключением двух случаев, когда ${\displaystyle n=2}$ и ${\displaystyle |K|=2}$ или ${\displaystyle 3}$. Если ${\displaystyle K}$ – конечное поле из ${\displaystyle q}$ элементов, то

${\displaystyle \left|PSL_{n}(K)\right|=(q-1,n)^{-1}q^{n(n-1)/2}\left(q^{n}-1\right)\left(q^{n-1}-1\right)\ldots \left(q^{2}-1\right)}$.