Лагранжиан

Лагранжиа́н, функция ${\displaystyle L(\phi _{i})}$ от обобщённых динамических переменных ${\displaystyle \phi _{i}}$, определяющая уравнения движения системы в квантовой теории поля (КТП); аналог функции Лагранжа классического физического поля. Обобщёнными динамическими переменными (которые в КТП становятся операторами) являются функции поля ${\displaystyle \phi _{i}(x)}$ и их производные по времени ${\displaystyle t}$ в каждой точке пространства-времени ${\displaystyle {\text{х}}=(t,x)}$. Уравнения движения, как и в классической механике, получаются из принципа наименьшего действия, записываемого в КТП как ${\displaystyle \delta S/\delta \phi _{i}=0}$, где действие ${\displaystyle S(\phi _{i})=\int L[\phi _{i}(x)]d^{4}x}$.

Лагранжиан, лежащий в основе лагранжева подхода в КТП, состоит из свободного лагранжиана, определяющего набор и свойства свободных полей, а также принципы их квантования, и лагранжиана взаимодействия, определяющего характер и вид взаимодействия полей. Лагранжиан взаимодействия входит также в определение матрицы рассеяния (${\displaystyle S}$-матрицы), элементы которой задают вероятности всех процессов, происходящих с элементарными частицами.

Важнейшим свойством лагранжиана является его инвариантность (неизменность) относительно каких-либо преобразований динамических переменных. Так, инвариантность относительно преобразований координат и времени (сдвигов, поворотов) приводит к закону сохранения энергии, закону сохранения импульса и закону сохранения углового момента, инвариантность относительно глобальных (не зависящих от координат пространства-времени) калибровочных преобразований – к законам сохранения зарядов (электрического, лептонного, барионного и др.). Особую роль в КТП играет требование инвариантности лагранжиана относительно локальных (зависящих от координат пространства-времени) калибровочных преобразований. Оно приводит к определённым взаимодействиям и самодействиям различных полей, которые и определяют процессы распада, рассеяния и рождения новых частиц. Таковы лагранжиан в квантовой хромодинамике, основанный на калибровочной симметрии в пространстве цвета ${\displaystyle SU(3)_{\text{с}}}$, и лагранжиан электрослабых взаимодействий, основанный на группе изотопических преобразований в пространстве кирально «левых» лептонов и кварков ${\displaystyle SU(2)_{L}\times U(1)}$.