Полярная система координат

Поля́рная систе́ма координа́т, система координат на плоскости, в которой координатами точки служат числа ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \phi }$ (рис.), связанные с декартовыми прямоугольными координатами ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ формулами ${\displaystyle x=\rho \cos \phi }$, ${\displaystyle y=\rho \sin \phi }$, где ${\displaystyle 0\leqslant \rho <\infty }$, ${\displaystyle 0\leqslant \phi <2\pi }$. Координатные линии – концентрические окружности (${\displaystyle \rho ={\rm {const}}}$) и лучи (${\displaystyle \phi ={\rm {const}}}$). Каждой точке плоскости ${\displaystyle Oxy}$ (за исключением точки ${\displaystyle 0}$, для которой ${\displaystyle \rho =0}$, а ${\displaystyle \phi }$ не определено, т. е. может быть любым числом ${\displaystyle 0\leqslant \phi <2\pi }$) соответствует пара чисел (${\displaystyle \rho ,\phi }$) и обратно. Расстояние ${\displaystyle \rho }$ от точки ${\displaystyle M}$ до точки ${\displaystyle (0,0)}$ (полюса) называется полярным радиусом, а угол ${\displaystyle \phi }$ – полярным углом. В полярных координатах элемент длины

${\displaystyle dl={\sqrt {(dp)^{2}+\rho ^{2}(d\phi )^{2}}}}$,

элемент площади

${\displaystyle ds=\rho d\rho d\phi }$,

оператор Лапласа

${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}}$.

Обобщёнными полярными координатами называются числа ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle \psi }$, связанные с прямоугольными координатами формулами

${\displaystyle x=ar\cos y,\,\,y=br\sin y}$,

где ${\displaystyle 0\leqslant r<\infty }$, ${\displaystyle 0\leqslant \psi <2\pi }$, ${\displaystyle a>0}$, ${\displaystyle b>0}$, ${\displaystyle a\neq b}$. Координатные линии – эллипсы (${\displaystyle r={\rm {const}}}$) и лучи (${\displaystyle \psi ={\rm {const}}}$). О полярной системе координат в пространстве см. в статье Сферическая система координат.

Полярная система координат в неявном виде использовал древнегреческий математик Динострат (4 в. до н. э.) при исследовании квадратрисы. Подобие полярной системы координат имеется у А. Дюрера (1525). И. Ньютон в «Методе флюксий» (1670–1671, опубликовано в 1736) трижды использовал полярную систему координат и привёл формулы, связывающие их с прямоугольными координатами. В почти современном виде полярная система координат появилась у Я. Бернулли (1691), чёткое представление об определении точки на плоскости при помощи полярной системы координат имелось у Л. Эйлера (1748). Термин «полярная система координат» возник в 19 в. К современным обозначениям полярных координат ближе всего обозначения Л. Эйлера: ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle \phi }$, а также С. Е. Гурьева: ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle \omega }$.