Полиномиальная функция

Полиномиа́льная фу́нкция, обобщение понятия целой рациональной функции. Пусть ${\displaystyle V}$ – унитарный модуль над ассоциативно-коммутативным кольцом ${\displaystyle C}$ с единицей. Отображение ${\displaystyle \varphi :V\rightarrow C}$ называется полиномиальной функцией, если ${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+\ldots +\varphi _{m}}$, где ${\displaystyle \varphi _{i}}$ – форма степени ${\displaystyle i}$ на ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle i=0,1,\ldots ,m}$. Наиболее часто полиномиальная функция рассматриваются в случае, когда ${\displaystyle V}$ – свободный ${\displaystyle C}$-модуль (например, векторное пространство над полем ${\displaystyle C}$) с конечным базисом ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$. В этом случае отображение ${\displaystyle \varphi :V\rightarrow C}$ является полиномиальной функцией тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \varphi (x)=F\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}$, где ${\displaystyle F\in C\left[X_{1},\ldots ,X_{n}\right]}$ – многочлен над ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ – координаты элемента ${\displaystyle x\in V}$ в базисе ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$, Если при этом ${\displaystyle C}$ – бесконечная область целостности, то многочлен ${\displaystyle F}$ определяется однозначно.

Полиномиальные функции на модуле ${\displaystyle V}$ образуют ассоциативно-коммутативную ${\displaystyle C}$-алгебру ${\displaystyle P(V)}$ с единицей относительно естественных операций. В случае, когда ${\displaystyle V}$ – свободный модуль с конечным базисом над бесконечной областью целостности ${\displaystyle C}$, алгебра ${\displaystyle P(V)}$ канонически изоморфна симметрической алгебре ${\displaystyle S\left(V^{*}\right)}$ сопряжённого модуля ${\displaystyle V^{*}}$, а если ${\displaystyle V}$ – конечномерное векторное пространство над полем характеристики 0, – алгебре симметрических полилинейных форм на ${\displaystyle V}$.