Сопряжённый модуль

Сопряжённый мо́дуль (двойственный модуль, дуальный модуль), модуль гомоморфизмов модуля в основное кольцо. Точнее: пусть ${\displaystyle M}$ – левый модуль над кольцом ${\displaystyle R}$. Абелеву группу ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(M,R)}$ гомоморфизмов модуля ${\displaystyle M}$ в левый ${\displaystyle R}$-модуль ${\displaystyle R}$ можно превратить в правый ${\displaystyle R}$-модуль ${\displaystyle M^{*}}$, полагая

${\displaystyle x(\varphi \lambda )=(x\varphi )\lambda ,\,x\in M,\,\varphi \in \mathrm {Hom} _{R}(M,R),\,\lambda \in R}$.

Этот правый модуль ${\displaystyle M^{*}}$ называется сопряжённым модулем модуля ${\displaystyle M}$. Если ${\displaystyle x\in M}$, то можно определить элемент ${\displaystyle {\bar {x}}\in M^{**}}$, положив ${\displaystyle {\bar {x}}(\varphi )=x\varphi }$ для всех ${\displaystyle \varphi \in M^{*}}$. Этим определяется гомоморфизм модуля ${\displaystyle M}$ в ${\displaystyle M^{**}}$. Гомоморфизмом является и отображение ${\displaystyle \zeta :M^{*}\bigotimes _{R}C\to \mathrm {Hom} _{R}(M,C)}$ (${\displaystyle C}$ – левый ${\displaystyle R}$-модуль), определяемое равенством

${\displaystyle x((\varphi \otimes c)\zeta )=(x\varphi )c,\,x\in M,\,\varphi \in M^{*},\,c\in C}$.

Оба эти гомоморфизма являются изоморфизмами, если ${\displaystyle M}$ – конечно порождённый проективный модуль (Маклейн. 1966^[1]). Из свойств функтора ${\displaystyle \mathrm {Hom} }$ вытекает изоморфизм ${\displaystyle (\sum M_{\alpha })^{*}\cong \prod M_{\alpha }^{*}}$ (${\displaystyle \sum }$ – прямая сумма, ${\displaystyle \prod }$ – прямое произведение) и существование гомоморфизма ${\displaystyle M^{***}}$ в ${\displaystyle M*}$. Сквозное отображение ${\displaystyle M^{*}\to M^{***}\to M^{*}}$ является тождественным. Однако ${\displaystyle M^{***}}$ не обязательно изоморфен ${\displaystyle M^{*}}$. Важными являются и модули без кручения в смысле Басса, т. е. модули, для которых указанный выше гомоморфизм ${\displaystyle M}$ в ${\displaystyle M^{**}}$ оказывается мономорфизмом. Это свойство равносильно вложимости модуля ${\displaystyle M}$ в прямое произведение некоторого множества экземпляров основного кольца. Если кольцо ${\displaystyle R}$ нётерово справа и слева, то отображение ${\displaystyle M\to M^{*}}$ осуществляет двойственность между категориями всех левых и всех правых конечно порождённых ${\displaystyle R}$-модулей тогда и только тогда, когда кольцо ${\displaystyle R}$ квазифробениусово.