Определитель Грама

Определи́тель Гра́ма, грамиан, определитель вида

${\displaystyle \Gamma =\Gamma \left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)=\operatorname {det} \left|\left(a_{i},a_{k}\right)\right|,\quad i,k=1,\ldots ,n}$,

где ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ – элементы (пред)гильбертова пространства, а ${\displaystyle \left(a_{i},a_{k}\right)}$ – их скалярные произведения. Определитель Грама равен квадрату ${\displaystyle n}$-мерного объёма параллелотопа, построенного на векторах ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$.

Определитель Грама является определителем неотрицательной эрмитовой формы

${\displaystyle \sum _{i,k=1}^{n}\left(a_{i},a_{k}\right)\xi _{i}{\bar {\xi }}_{k}=\left\|\sum _{i=1}^{n}a_{i}\xi _{i}\right\|^{2}}$,

откуда и вытекают его основные свойства:

1) определитель Грама неотрицателен, т. е. ${\displaystyle \Gamma \geqslant 0}$. Равенство ${\displaystyle \Gamma =0}$ имеет место тогда и только тогда, когда векторы линейно зависимы. Это свойство может рассматриваться как обобщение неравенства Коши:

${\displaystyle \Gamma \left(a_{1},a_{2}\right)\geqslant 0\quad {\text{ или }}\quad \left(a_{1},a_{1}\right)\left(a_{2},a_{2}\right)\geqslant \left(a_{1},a_{2}\right)\left(a_{2},a_{1}\right)=\left|\left(a_{1},a_{2}\right)\right|^{2}}$.

В частности, определитель Грама равен нулю, если какой-либо его главный минор (также являющийся определителем Грама) равен нулю.

2) ${\displaystyle \Gamma \left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)\leqslant \Gamma \left(a_{1},\ldots ,a_{p}\right)\Gamma \left(a_{p+1},\ldots ,a_{n}\right)}$, причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда подпространства ${\displaystyle L\left(a_{1},\ldots ,a_{p}\right)}$ и ${\displaystyle L\left(a_{p+1},\ldots ,a_{n}\right)}$ ортогональны или один из определителей ${\displaystyle \Gamma \left(a_{1},\ldots ,a_{p}\right)}$, ${\displaystyle \Gamma \left(a_{p}+1,\ldots ,a_{n}\right)}$ равен нулю. Геометрически это неравенство означает, что объём параллелотопа не превосходит произведения объёмов дополнительных граней.

В частности,

${\displaystyle \Gamma \left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)\leqslant \Gamma \left(a_{1}\right)\ldots \Gamma \left(a_{n}\right)}$.

3) ${\displaystyle \Gamma \left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)=\Gamma \left(a_{1},\ldots ,a_{n-1}\right)h^{2}}$, где

${\displaystyle h=\min _{x^{1},\ldots ,x^{n-1}}\left\|a_{n}-\sum _{i=1}^{n-1}x^{i}a_{i}\right\|}$

есть расстояние от элемента ${\displaystyle a_{n}}$ до подпространства ${\displaystyle L\left(a_{1},\ldots ,a_{n-1}\right)}$, т. е. наилучшее квадратическое приближение элемента ${\displaystyle a_{n}}$ полиномами вида ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}x^{j}a_{i}}$.

Если ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ суть ${\displaystyle n}$-мерные векторы ${\displaystyle a_{i}=\left(a_{i}^{1},\ldots ,a_{i}^{n}\right)}$, то

${\displaystyle \Gamma \left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)=\left(\operatorname {det} \left|a_{i}^{j}\right|\right)^{2},\quad i,j=1,\ldots ,n}$.

Определители Грама введены Й. Грамом (^[1]) и независимо К. А. Андреевым (см. ^[2]) в связи с задачами разложения функций в ортогональные ряды и наилучшего квадратического приближения функций.

Определители Грама применяются при решении многих задач линейной алгебры и теории функций: исследовании линейной зависимости системы векторов или функций, ортогонализации системы функций, построение проекторов, а также при изучении свойств систем функций.

Определители Грама являются частным случаем определителей вида

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left({\begin{array}{l}a_{1},\ldots ,a_{n}\\b_{1},\ldots ,b_{n}\end{array}}\right)=\operatorname {det} \left|\left(a_{i},b_{j}\right)\right|,\quad i,j=1,\ldots ,n\end{aligned}}}$,

которые эрмитово билинейны по отношению к векторам ${\displaystyle a_{i}}$ и ${\displaystyle b_{j}}$. Если ${\displaystyle a_{i}(x)}$ принадлежат классу ${\displaystyle L_{2}(E)}$, то справедлива формула

${\displaystyle \operatorname {det} \left(a_{i},b_{j}\right)={\frac {1}{n!}}\int _{E}\cdots \int _{E}\operatorname {det} \left|a_{i}\left(x_{j}\right)\right|\operatorname {det} \left|{\overline {b_{i}}}\left(x_{j}\right)\right|\,dx_{1}\ldots dx_{n}}$.