Операционное исчисление

Операцио́нное исчисле́ние, один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев с помощью простых правил решать сложные задачи. Операционное исчисление применяется в автоматике, механике, электротехнике. В основе операционного исчисления лежит идея замены изучаемых функций (оригиналов) другими функциями (изображениями), получаемыми из первых по определённым правилам (обычно изображение – функция, получаемая из данной с помощью преобразования Лапласа). При такой замене оператор ${\displaystyle p={\frac {d}{dt}}}$ интерпретируется как алгебраическая величина, вследствие чего интегрирование некоторых классов линейных дифференциальных уравнений и решение ряда других задач математического анализа сводится к решению более простых алгебраических задач. Так, решение линейного дифференциального уравнения сводится к более простой задаче решения алгебраического уравнения: из алгебраического уравнения находят изображение решения данного дифференциального уравнения, после чего по изображению восстанавливают само решение. Операции нахождения изображения по оригиналу (и наоборот) облегчаются наличием обширных таблиц «оригинал – изображение».

Для развития операционного исчисления большое значение имели работы О. Хевисайда. Он предложил (1892) формальные правила обращения с оператором ${\displaystyle p={\frac {d}{dt}}}$ и некоторыми функциями от этого оператора. Пользуясь операционным исчислением, Хевисайд решил ряд важных задач электродинамики, однако операционное исчисление в его работах не получило математического обоснования, многие его результаты оставались недоказанными.

Строгое обоснование операционного исчисления было дано с помощью интегрального преобразования Лапласа. Если при этом преобразовании функция ${\displaystyle f(t)}$, ${\displaystyle 0\leq t<\infty }$, переходит в функцию ${\displaystyle F(z)}$ комплексного переменного ${\displaystyle z=x+iy}$, то производная ${\displaystyle f'(t)}$ переходит в функцию ${\displaystyle zF(z)-f(0)}$, а интеграл ${\displaystyle \int _{0}^{t}f(u)\,du}$ переходит в функцию ${\displaystyle {\frac {F(z)}{z}}}$, т. е. оператор дифференцирования ${\displaystyle p}$ переходит в оператор умножения на переменную ${\displaystyle z}$, а интегрирование сводится к делению на ${\displaystyle z}$. В следующей краткой таблице даны ещё несколько соответствий.

Оригинал	Изображение
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1/z}$
${\displaystyle t^{n}}$	${\displaystyle n!/z^{n+1}\,\,(n>0-\operatorname {{\text{ц}}\epsilon {\text{ло}}\epsilon } )}$
${\displaystyle e^{\lambda t}}$	${\displaystyle 1/(z-\lambda )}$
${\displaystyle \cos \omega t}$	${\displaystyle z/(z^{2}+\omega ^{2})}$
${\displaystyle \sin \omega t}$	${\displaystyle \omega /(z^{2}+\omega ^{2})}$

Пример. Найти с помощью операционного исчисления решение ${\displaystyle y=f(t)}$ линейного дифференциального уравнения

${\displaystyle y''-y'-6y=2e^{4t}}$

при начальных условиях

${\displaystyle y_{0}=f(0)=0\,\,\,{\text{и}}\,\,\,y'_{0}=f'(0)=0}$.

Переходя от искомой функции ${\displaystyle f(t)}$ и данной функции ${\displaystyle 2e^{4t}}$ к их изображениям ${\displaystyle F(z)}$ и ${\displaystyle 2/(z-4)}$ (последняя берётся из таблицы) и применяя формулу для изображения производной, получают алгебраическое уравнение

${\displaystyle z^{2}F(z)-zF(z)-6F(z)={\frac {2}{z-4}}}$

или

${\displaystyle F(z)={\frac {2}{(z+2)(z-3)(z-4)}}={\frac {1}{15}}{\frac {1}{z+2}}-{\frac {2}{5}}{\frac {1}{z-3}}+{\frac {1}{3}}{\frac {1}{z-4}}}$.

Отсюда (опять по таблице)

${\displaystyle y=f(t)={\frac {1}{15}}e^{-2t}-{\frac {2}{5}}e^{3t}+{\frac {1}{3}}e^{4t}}$.

Имеются различные обобщения операционного исчисления. Существует многомерное операционное исчисление, основанное на теории кратных интегралов. Созданы операционные исчисления для дифференциальных операторов, отличных от оператора ${\displaystyle p={\frac {d}{dt}}}$, например для оператора ${\displaystyle B={\frac {d}{dt}}t{\frac {d}{dt}}}$.