Линейные дифференциальные уравнения

Лине́йные дифференциа́льные уравне́ния, дифференциальные уравнения вида

${\displaystyle y^{(n)}+p_{1}(x){\text{у}}^{(n-1)}+\ldots +p_{n}(x)y=f(x),}$ (1)

где ${\displaystyle y=y(x)}$ – искомая функция, ${\displaystyle y^{(n)},y^{(n-1)},\ldots ,y'}$ – её производные, a коэффициенты ${\displaystyle p_{1}(x),p_{2}(x),\ldots ,p_{n}(x)}$ и свободный член ${\displaystyle f(x)}$ – заданные функции. В уравнение (1) искомая функция ${\displaystyle y}$ и её производные входят в 1-й степени, т. е. линейно, поэтому оно называется линейным. Если ${\displaystyle f(x)\equiv 0}$, то уравнение (1) называется однородным, в противном случае – неоднородным. Общее решение ${\displaystyle y_{0}=y_{0}(x)}$ однородного линейного дифференциального уравнения при условии непрерывности его коэффициентов выражается формулой ${\displaystyle y_{0}=C_{1}y_{1}(x)+{\text{С}}_{2}{\text{у}}_{2}({\text{х}})+\ldots +C_{n}y_{n}(x)}$, где ${\displaystyle C_{1},C_{2},\ldots ,C_{n}}$ – произвольные постоянные и ${\displaystyle y_{1}(x),y_{2}({\text{х}}),\ldots ,y_{n}(x)}$ – линейно независимые частные решения (их совокупность называется фундаментальной системой решений). Критерием линейной независимости решений служит отличие от нуля (хотя бы в одной точке) определителя Вроньского (вронскиана; назван по имени польского учёного Ю. Вроньского)

${\displaystyle W(x)={\begin{matrix}y_{1}(x)&y_{2}(x)&\ldots &y_{n}(x)\\y'_{1}(x)&y'_{2}(x)&\ldots &y'_{n}(x)\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\y_{1}^{(n-1)}(x)&y_{2}^{(n-1)}(x)&\ldots &y_{n}^{(n-1)}(x)\end{matrix}}.}$ (2)

Общее решение ${\displaystyle y=y(x)}$ неоднородного линейного дифференциального уравнения (1) имеет вид ${\displaystyle y=y_{0}+Y}$, где ${\displaystyle y_{0}=y_{0}(x)}$ – общее решение соответствующего однородного линейного дифференциального уравнения и ${\displaystyle Y=Y(x)}$ – какое-либо частное решение данного неоднородного линейного дифференциального уравнения. Функция ${\displaystyle Y(x)}$ может быть найдена по формуле

${\displaystyle \displaystyle Y(x)=\sum _{k=1}^{n}y_{k}(x)\int _{x_{0}}^{x}W_{k}(t){\text{exp}}\left(\int _{x_{0}}^{t}p_{k}(u)du\right)f(t)dt}$,

где ${\displaystyle y_{k}(x)}$ – решения, составляющие фундаментальную систему решений однородного линейного дифференциального уравнения, и ${\displaystyle W_{k}(x)}$ – алгебраическое дополнение элемента ${\displaystyle y_{k}^{(n-1)}(x)}$ в определителе (2) Вроньского.

Если коэффициенты уравнения (1) постоянны, т. е. ${\displaystyle p_{k}(x)=a_{k}}$, ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n}$, то общее решение однородного уравнения выражается формулой

${\displaystyle \displaystyle y_{0}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{s=0}^{n_{k}-1}x^{s}e^{\alpha _{k}x}(C_{ks}{\text{cos}}\beta _{k}x+D_{ks}{\text{sin}}\beta _{k}x)}$,

где ${\displaystyle \alpha _{k}+i\beta _{k}}$, ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n}$, – корни характеристического уравнения ${\displaystyle \lambda ^{n}+a_{1}\lambda _{n-1}+\ldots +a_{n}=0}$, ${\displaystyle n_{k}}$ – кратности этих корней, ${\displaystyle C_{ks}}$, ${\displaystyle D_{ks}}$ – произвольные постоянные, ${\displaystyle i}$ – мнимая единица.

Пример. Для линейного дифференциального уравнения ${\displaystyle y'''+y=0}$ характеристическое уравнение имеет вид ${\displaystyle \lambda ^{3}+1=0}$. Его корнями являются числа ${\displaystyle \lambda _{1}=-1,\;\lambda _{2}=1\mid 2+i{\sqrt {3}}/2,\;\lambda _{3}=1/2-i{\sqrt {3}}/2}$. Поэтому общее решение данного линейного дифференциального уравнения есть

${\displaystyle y=C_{1}e^{-x}+e^{x/2}(C_{2}\;{\text{cos}}\;x{\sqrt {3}}/2+C_{3}\;{\text{sin}}\;x{\sqrt {3/2}})}$,

где ${\displaystyle C_{1},C_{2},C_{3}}$ – произвольные постоянные.

Системы линейного дифференциального уравнения имеют вид

${\displaystyle \displaystyle {\frac {dy_{j}}{dx}}=\sum _{k=1}^{n}p_{jk}(x)y_{k}+f_{j}(x),}$ (3)

${\displaystyle j=1,2,...,n}$, где ${\displaystyle p_{jk}(x)}$ и ${\displaystyle f_{j}(x)}$, ${\displaystyle j}$, ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n}$, – заданные функции.

Общее решение однородной системы линейных дифференциальных уравнений, получаемой из системы (3), если ${\displaystyle f_{j}(x)\equiv 0}$ для всех ${\displaystyle j=1,2,\ldots ,n}$, имеет вид

${\displaystyle \displaystyle y_{j}=\sum _{k=1}^{n}C_{k}y_{jk}(x),\;j=1,2,\ldots ,n}$,

где ${\displaystyle y_{j1},y_{j2},\ldots ,y_{jn}}$ – линейно независимые частные решения однородной системы (т. е. такие, что определитель ${\displaystyle \mid y_{jk}(x)\mid }$ отличен от нуля хотя бы в одной точке).

В случае постоянных коэффициентов ${\displaystyle p_{jk}(x)=a_{jk}}$ частные решения однородной системы следует искать в виде:

${\displaystyle y_{j}(x)=(A_{j0}+A_{j1}x+\ldots +A_{jn_{k}-1}x^{n_{k}-1})e^{\lambda _{j}}x}$,

${\displaystyle j=1,2,\ldots ,n}$, где ${\displaystyle A_{js}}$ – постоянные, a ${\displaystyle \lambda _{k}}$ – корни характеристического уравнения

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}-\lambda &a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}-\lambda &...&a_{2n}\\...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}-\lambda \end{matrix}}=0}$

и ${\displaystyle n_{k}}$ – кратности этих корней.

Для решения линейных дифференциальных уравнений и систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами применяются также методы операционного исчисления.