Поле разложения многочлена

По́ле разложе́ния многочле́на, наименьшее поле, содержащее все корни данного многочлена. Точнее, расширение ${\displaystyle L}$ поля ${\displaystyle K}$ называется полем разложения многочлена ${\displaystyle f}$ над полем ${\displaystyle K}$, если ${\displaystyle f}$ разлагается над полем ${\displaystyle L}$ на линейные множители:

${\displaystyle f=a_{0}(x-a_{1})\dots (x-a_{n})}$

и ${\displaystyle L=K(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$ . Поле разложения существует для любого многочлена ${\displaystyle f\in K[x]}$ и определено однозначно с точностью до изоморфизма, тождественного на ${\displaystyle K}$. Поле разложения, по определению, является конечным алгебраическим расширением поля ${\displaystyle K}$.

Примеры. Поле комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ служит полем разложения многочлена ${\displaystyle x^{2}+1}$ над полем ${\displaystyle \mathbb {R} }$ действительных чисел. Любое конечное поле ${\displaystyle {\rm {GF}}(q)}$, где ${\displaystyle q=p^{n}}$, есть поле разложения многочлена ${\displaystyle x^{q}-x}$ над простым подполем ${\displaystyle {\rm {GF}}(p)\subset {\rm {GF}}(q)}$.