Неравенство Бесселя

Нера́венство Бе́сселя, неравенство

${\displaystyle \|f\|^{2}=(f,f)\geqslant \sum _{\alpha \in A}{\frac {\left|f,\varphi _{\alpha }\right|^{2}}{\left(\varphi _{\alpha },\varphi _{\alpha }\right)}}=\sum _{\alpha \in A}\left|\left(f,{\frac {\varphi _{\alpha }}{\left\|\varphi _{\alpha }\right\|}}\right)\right|^{2},}$

где ${\displaystyle f}$ – элемент (пред)гильбертова пространства ${\displaystyle H}$ со скалярным произведением ${\displaystyle (f,\varphi )}$, a ${\displaystyle \left\{\varphi _{\alpha },\alpha \in A\right\}}$ – ортогональная система ненулевых элементов из ${\displaystyle H}$. Правая часть неравенства Бесселя при любой мощности множества индексов ${\displaystyle A}$ содержит не более счётного числа слагаемых, отличных от нуля. Неравенство Бесселя вытекает из тождества Бесселя

${\displaystyle \left\|f-\sum _{i=1}^{n}x^{\alpha _{i}}\varphi _{\alpha _{i}}\right\|^{2}\equiv \|f\|^{2}-\sum _{i=1}^{n}\lambda _{\alpha _{i}}\left|x^{\alpha _{i}}\right|^{2},}$

справедливого для любой конечной системы элементов ${\displaystyle \left\{\varphi _{\alpha _{i}}\right\}i=1,2,\ldots n}$. В этой формуле ${\displaystyle x^{\alpha _{i}}}$ – коэффициенты Фурье вектора ${\displaystyle f}$ по ортогональной системе ${\displaystyle \left\{\varphi _{\alpha _{1}},\varphi _{\alpha _{2}},\ldots ,\varphi _{\alpha _{m}}\right\}}$, т. е. числа

${\displaystyle x^{\alpha _{i}}={\frac {1}{\lambda _{\alpha _{i}}}}\left(f,\varphi _{\alpha _{i}}\right),\quad \lambda _{\alpha _{i}}=\left(\varphi _{\alpha _{i}},\varphi _{\alpha _{i}}\right)}$.

Геометрически неравенство Бесселя означает, что ортогональная проекция элемента ${\displaystyle f}$ на линейную оболочку элементов ${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$, ${\displaystyle \alpha \in A}$, имеет норму, не превосходящую нормы ${\displaystyle f}$ (т. е. гипотенуза не короче катета). Для того чтобы вектор ${\displaystyle f}$ принадлежал замкнутой линейной оболочке векторов ${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$, ${\displaystyle \alpha \in A}$, необходимо и достаточно, чтобы неравенство Бесселя обращалось в равенство. Если это имеет место при любом ${\displaystyle f\in H}$, то говорят, что для системы ${\displaystyle \left\{\varphi _{\alpha },\alpha \in A\right)}$ в ${\displaystyle H}$ выполняется равенство Парсеваля.

Для системы ${\displaystyle \left\{\varphi _{\alpha },\alpha =1,2,\ldots \right\}}$ линейно независимых (не обязательно ортогональных) элементов из ${\displaystyle H}$ тождество Бесселя и неравенство Бесселя принимают вид

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left\|f-\sum _{\alpha ,{\boldsymbol {\beta }}=1}^{n}b_{n}^{\alpha \beta }\left(f,\varphi _{\beta }\right)\varphi _{\alpha }\right\|^{2}\equiv \|f\|^{2}-\sum _{\alpha ,\beta =1}^{n}b_{n}^{\alpha \beta }\left(f,\varphi _{\alpha }\right)\left(f,\varphi _{\beta }\right){\text{, }}\&\|f\|^{2}\geqslant \sum _{\alpha ,\beta =1}^{n}b_{n}^{\alpha \beta }\left(f,\varphi _{\alpha }\right)\left(f,\varphi _{\beta }\right),\&\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle b_{n}^{\alpha \beta }}$ – элементы матрицы, обратной к матрице Грама (см. Определитель Грама) первых ${\displaystyle n}$ векторов исходной системы.

Неравенство Бесселя предложено Ф. В. Бесселем в 1828 г. для тригонометрической системы.