Тригонометрическая система

Тригонометри́ческая систе́ма, одна из важнейших ортогональных систем функций. Функции тригонометрической системы

${\displaystyle 1,\cos x,\sin x,\ldots ,\cos nx,\sin nx,\ldots }$

ортогональны на любом отрезке вида ${\displaystyle [a-\pi ,a+\pi ]}$, а функции

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},{\frac {\cos x}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\sin x}{\sqrt {\pi }}},\ldots ,{\frac {\cos nx}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\sin nx}{\sqrt {\pi }}},\ldots }$

ортонормированы на этом отрезке. Тригонометрическая система полна и замкнута в пространстве ${\displaystyle L_{p}[-\pi ,\pi ]}$ при ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$, а также в пространстве ${\displaystyle C_{2\pi }}$ непрерывных ${\displaystyle 2\pi }$-периодических функций. Эта система образует базис в пространстве ${\displaystyle L_{p}[-\pi ,\pi ]}$ при ${\displaystyle 1<p<\infty }$. Ряды по тригонометрическим системам изучаются в теории тригонометрических рядов.

Наряду с тригонометрическими системами широкое применение находит комплексная тригонометрическая система ${\displaystyle \{e^{inx}\}_{n=-\infty }^{\infty }}$. Функции этих систем связаны друг с другом формулами Эйлера.