Многочлен наилучшего приближения

Многочле́н наилу́чшего приближе́ния (полином наилучшего приближения), многочлен, осуществляющий наилучшее приближение функции ${\displaystyle x(t)}$ в той или иной метрике среди всех многочленов, построенных по той же (конечной) системе функций. Если ${\displaystyle X}$ – линейное нормированное пространство функций (например, ${\displaystyle C[a,b]}$ или ${\displaystyle L_{p}(a,b)}$, ${\displaystyle p\geqslant 1}$),

${\displaystyle U_{n}=\left\{u_{1}(t),\ldots ,u_{n}(t)\right\}}$

– система линейно независимых функций из ${\displaystyle X}$, то для любой ${\displaystyle x\in X}$ (обобщённый) многочлен наилучшего приближения

${\displaystyle }$
${\displaystyle {\tilde {u}}(t)={\tilde {u}}(x,t)=\sum _{k=1}^{n}{\tilde {c}}_{k}u_{k}(t)}$ (*),

определяемый соотношением

${\displaystyle \ \mid x-{\tilde {u}}\ \mid =\min _{\left\{c_{k}\right\}}\left\|x-\sum _{k=1}^{n}c_{k}u_{k}\right\|}$,

существует. Единственность многочлена наилучшего приближения для всех ${\displaystyle x\in X}$ имеет место во всяком случае, если ${\displaystyle X}$ – пространство со строго выпуклой нормой (т. е. из ${\displaystyle \ \mid x\ \mid =\ \mid y\ \mid }$ и ${\displaystyle x\neq y}$ следует, что ${\displaystyle \ \mid x+y\ \mid <\ \mid x\ \mid +\ \mid y\ \mid }$). Таким является пространство ${\displaystyle L_{p}(a,b)}$ при ${\displaystyle 1<p<\infty }$. В пространстве ${\displaystyle C[a,b]}$, норма которого не является строго выпуклой, многочлен наилучшего приближения для любой ${\displaystyle x\in C[a,b}$] единствен, если система ${\displaystyle U_{n}}$ является чебышёвской на ${\displaystyle [a,b]}$, т. е. каждый многочлен

${\displaystyle u(t)=\sum _{k=1}^{n}c_{k}u_{k}(t)\neq 0}$

имеет на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ не более чем ${\displaystyle n-1}$ нулей. В частности, единственность имеет место для алгебраических многочленов в ${\displaystyle C[a,b]}$, а также для тригонометрических полиномов в пространстве ${\displaystyle C_{2\pi }}$ непрерывных на всей оси ${\displaystyle 2\pi }$ периодических функций с равномерной метрикой. Если многочлен наилучшего приближения существует и единствен для любой ${\displaystyle x\in X}$, то он непрерывно зависит от ${\displaystyle x}$.

Известны критерии, указывающие необходимые и достаточные признаки многочлена наилучшего приближения в пространствах ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle L_{p}}$. Справедлива, например, теорема Чебышёва: если система ${\displaystyle U_{n}}$ является чебышёвской, то для того, чтобы многочлен ${\displaystyle (*)}$ являлся для функции ${\displaystyle x\in C[a,b]}$ многочленом наилучшего приближения в метрике пространства ${\displaystyle C[a,b]}$, необходимо и достаточно, чтобы нашлась система из ${\displaystyle n+1}$ точек ${\displaystyle t_{i}\in V_{i}:\ a\leqslant t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n+1}\leqslant b}$, в которых разность

${\displaystyle \Delta (t)=x(t)-{\tilde {u}}(t)}$

принимает значения

${\displaystyle \pm \max _{a\leqslant t\leqslant b}\mid \Delta (t)\mid }$,

причём

${\displaystyle \Delta \left(t_{i+1}\right)=-\Delta \left(t_{i}\right),\quad i=1,2,\ldots ,n}$.

Многочлен ${\displaystyle (*)}$ является многочленом наилучшего приближения для функции ${\displaystyle x(t)\in L_{p}[a,b]}$, ${\displaystyle p>1}$, в метрике этого пространства тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \int _{a}^{b}u_{k}(t)\mid x(t)-{\tilde {u}}(t)\mid ^{p-1}\operatorname {sign} [x(t)-{\tilde {u}}(t)]dt=0}$,

${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n}$. В случае ${\displaystyle p=1}$, т. е. в пространстве ${\displaystyle L_{1}[a,b]}$, условия

${\displaystyle \int _{a}^{b}u_{k}(t)\operatorname {sign} [x(t)-{\tilde {u}}(t)]dt=0,\quad k=1,2,\ldots ,n}$,

достаточны, а если мера множества тех точек ${\displaystyle t}$ из ${\displaystyle (a,b)}$, где ${\displaystyle x(t)={\tilde {u}}(t)}$, равна нулю, то и необходимы, чтобы ${\displaystyle {\tilde {u}}(t)}$ был многочленом наилучшего приближения для ${\displaystyle x\in L_{1}[a,b]}$ (см. также в статье Критерий Маркова).

Существуют алгоритмы приближённого построения многочленов наилучшего равномерного приближения (Дзядык. 1977^[1]; Лоран. 1975^[2]).