Метод суммирования Хаусдорфа

Ме́тод сумми́рования Хаусдо́рфа, метод суммирования числовых и функциональных рядов; введён Ф. Хаусдорфом (^[1]); определяется следующим образом. Последовательность ${\displaystyle s=\{s_{n}\}}$ подвергается последовательно трём линейным матричным преобразованиям:

${\displaystyle t=\delta s,\quad \tau =\mu t,\quad \sigma =\delta t}$,

где ${\displaystyle \delta }$ – преобразование посредством треугольной матрицы ${\displaystyle \Vert \delta _{nk}\Vert }$:

${\displaystyle \delta _{nk}={\begin{cases}(-1)^{k}{\dbinom {n}{k}},\quad &k\leqslant n,\\0,&k>n;\end{cases}}}$

${\displaystyle \mu }$ – диагональное преобразование посредством диагональной матрицы ${\displaystyle \Vert \mu _{nk}\Vert }$:

${\displaystyle \mu _{nk}={\begin{cases}\mu _{n},\quad &k=n,\\0,&k\neq n,\end{cases}}}$

где ${\displaystyle \mu _{n}}$ – числовая последовательность. Преобразование

${\displaystyle \sigma =\lambda s}$,

где ${\displaystyle \lambda =\delta \mu \delta }$, ${\displaystyle \left\{\mu _{n}\right\}}$ – произвольная числовая последовательность, называют общим хаусдорфовым преобразованием, а матрицу ${\displaystyle \delta \mu \delta }$ – матрицей Xаусдорфа. В матричной записи общее хаусдорфово преобразование имеет вид

${\displaystyle \sigma _{n}=\sum _{k=0}^{n}\lambda _{nk}s_{k}}$,

где

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{nk}={\begin{cases}{\dbinom {n}{k}}\Delta ^{n-k}\mu _{k},\quad &k\leqslant n,\\0,&k>n;\end{cases}}\\\Delta \mu _{k}=\mu _{k}-\mu _{k+1},\quad \Delta ^{n}\mu _{k}=\Delta ^{n-1}\mu _{k}-\Delta ^{n-1}\mu _{k+1}.\end{aligned}}}$

Ряд

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{n}}$

с частичными суммами ${\displaystyle s_{n}}$ суммируем методом Хаусдорфа к сумме ${\displaystyle S}$, если

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sigma _{n}=S}$.

Поле и регулярность метода Хаусдорфа зависят от последовательности ${\displaystyle \left\{\mu _{n}\right\}}$. Если ${\displaystyle \left\{\mu _{n}\right\}}$ – действительная последовательность, то для регулярности метода необходимо и достаточно, чтобы:
${\displaystyle \left\{\mu _{n}\right\}}$ была разностью двух абсолютно монотонных последовательностей;

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{m\to \infty }\Delta ^{m}\mu _{0}=0;\\\mu _{0}=1;\end{aligned}}}$

или, в другой терминологии, необходимо и достаточно, чтобы ${\displaystyle \mu _{n}}$ были регулярными моментами.

Метод суммирования Хаусдорфа содержит в качестве частных случаев ряд других известных методов суммирования. Так, при ${\displaystyle \mu _{n}=1/{(q+1)^{n}}}$ метод Хаусдорфа обращается в метод Эйлера ${\displaystyle (E,q)}$, при ${\displaystyle \mu _{n}=1/(n+1)^{k}}$ – в метод Гёльдера ${\displaystyle (H,k)}$, при ${\displaystyle \mu _{n}=1{\bigl /}{\binom {n+k}{k}}}$. – в метод Чезаро ${\displaystyle (C,k)}$.