Метод суммирования Эйлера

Ме́тод сумми́рования Э́йлера (метод суммирования Эйлера – Кноппа), один из методов суммирования числовых и функциональных рядов. Ряд

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ (*)

суммируем методом суммирования Эйлера [${\displaystyle (E,q)}$-суммируем] к сумме ${\displaystyle S}$, если

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{(q+1)^{n}}}\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}q^{n-k}S_{k}=S,}$

где ${\displaystyle q>-1}$, ${\displaystyle \displaystyle S_{k}=\sum _{n=0}^{k}a_{n}}$.

Впервые метод при ${\displaystyle q=1}$ применялся Л. Эйлером для суммирования медленно сходящихся и расходящихся рядов. На произвольные значения ${\displaystyle q}$ метод был распространён К. Кноппом (Knopp. 1922^[1]), поэтому метод суммирования Эйлера при любом ${\displaystyle q}$ называют также методом суммирования Эйлера – Кноппа. Метод суммирования Эйлера регулярен при ${\displaystyle q\geqslant 0}$; если ряд ${\displaystyle (E,q)}$-суммируем, то он суммируем и методом ${\displaystyle (E,q')}$ при ${\displaystyle q'>q>-1}$ к той же сумме (см. Включение методов суммирования). При ${\displaystyle q=0}$ суммируемость методом суммирования Эйлера ряда (*) означает сходимость этого ряда. Если ряд ${\displaystyle (E,q)}$-суммируем, то его члены ${\displaystyle a_{n}}$ удовлетворяют условию ${\displaystyle a_{n}=o\{(2q+1)^{n}\}}$, ${\displaystyle q\leqslant 0}$. Метод суммирования Эйлера применяется также для аналитического продолжения функции, определённой степенным рядом, за круг сходимости. Так, ряд ${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z_{n}}$ ${\displaystyle (E,q)}$-суммируем к сумме ${\displaystyle 1/(1-z)}$ в круге с центром в точке ${\displaystyle -q}$ и радиусом, равным ${\displaystyle q+1}$.