Метод Вейля

Ме́тод Ве́йля в теории чисел, метод для получения нетривиальных оценок тригонометрических сумм вида

${\displaystyle S(f)=\sum _{1\leqslant x\leqslant p}e^{2\pi if(x)}}$ (1),

где

${\displaystyle f(x)=\alpha _{n}x^{n}+\ldots +\alpha _{1}x}$,

a ${\displaystyle \alpha _{n},\ldots ,\alpha _{1}}$ – любые действительные числа. Метод Вейля был разработан Г. Вейлем (Weyl. 1916) для установления критериев равномерного распределения.

Сущность метода Вейля заключается в следующем. Сумма ${\displaystyle (1)}$ возвышается в степень ${\displaystyle \rho _{0}=2^{n-1}}$ путём последовательных возвышений в квадрат с целью понижения степени многочлена ${\displaystyle f(x)}$. Например, на первом шаге

${\displaystyle S^{2}(f)=\sum _{\lambda _{1}\neq 0}\sum _{x}e^{2\pi i\left(f\left(x+\lambda _{1}\right)-f(x)\right)}+O(P)}$,

где суммирования производятся по интервалам длины ${\displaystyle \ll P}$,

${\displaystyle f\left(x+\lambda _{1}\right)-f(x)=n\alpha _{n}\lambda _{1}x^{n-1}+\ldots }$

является многочленом степени ${\displaystyle n-1}$ относительно ${\displaystyle x}$ [символы ${\displaystyle O(P)}$ и ${\displaystyle \ll P}$ обозначают величины порядка ${\displaystyle P}$]. На ${\displaystyle (n-1)}$-м шаге приходят к внутренней сумме

${\displaystyle S(\alpha )=\sum _{x=a+1}^{a+P_{1}}e^{2\pi i\alpha x}}$ (2),

где ${\displaystyle P_{1}\leqslant P}$, ${\displaystyle \alpha =n!\lambda _{1}\lambda _{2}\ldots \lambda _{n-1}\alpha _{n}}$, ${\displaystyle \lambda _{i}\neq 0}$. Суммы вида

${\displaystyle (2)}$ оцениваются с помощью неравенства:

${\displaystyle \mid S(\alpha )\mid \leqslant \min \left(P_{1},{\frac {1}{\mid \sin \pi \alpha \mid }}\right)}$.

В результате получается оценка:

${\displaystyle \mid S(f)\mid ^{\rho _{0}}\leqslant P^{\rho _{0}-1}+P^{\rho _{0}-n+\varepsilon }\sum _{0<y\leqslant P^{n-1}}\min \left(P_{1},{\frac {1}{\left|\sin \pi y\alpha _{n}\right|}}\right){\text{. }}}$ (3)

Из неравенства ${\displaystyle (3)}$ выводятся различные оценки суммы ${\displaystyle (1)}$ в случае, когда ${\displaystyle {\frac {1}{\left|\sin \pi y\alpha _{n}\right|}}}$ будет величиной, малой по сравнению с ${\displaystyle P}$. Эти оценки зависят от точности, с которой коэффициент ${\displaystyle \alpha _{n}}$ многочлена ${\displaystyle f(x)}$ аппроксимируется рациональными дробями.

Пример. Пусть

${\displaystyle \left|\alpha _{n}-{\frac {p}{q}}\right|\leqslant {\frac {1}{q^{2}}},\quad (a,q)=1}$.

Тогда имеет место неравенство

${\displaystyle \mid S(f)\mid \ll P^{1+\varepsilon }q^{\varepsilon }\left({\frac {1}{P}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {q}{P^{n}}}\right)^{\rho _{0}}{\text{. }}}$

В частности, если

${\displaystyle P\leqslant q\leqslant P^{n-1}}$,

то

${\displaystyle \mid S(f)\mid \ll P^{1-\rho _{0}+\varepsilon }}$.

Метод Вейля позволил решить в первом приближении ряд важных проблем теории чисел. С помощью оценки ${\displaystyle (3)}$ и её следствий было исследовано распределение дробных долей многочлена ${\displaystyle f(x)}$. Решение проблемы Варинга, данное в 1920 г. Г. Харди и Дж. Литлвудом, опиралось на оценку сумм ${\displaystyle (1)}$ с помощью метода Вейля. При этом им удалось оценить значения ${\displaystyle r=r(k)}$, для которых уравнение

${\displaystyle N=x_{1}^{k}+\ldots +x_{r}^{k}}$

(${\displaystyle N>0}$ – целое, ${\displaystyle x_{i}}$ – целые) разрешимо или даже имеет асимптотику для числа решений. Обобщение оценки ${\displaystyle (3)}$ на случай функций ${\displaystyle f(x)}$, не являющихся многочленами, но в известном смысле близких к ним, привело к улучшению некоторых теорем в теории распределения простых чисел (оценка разности соседних простых чисел, оценка остаточного члена в асимптотической формуле для числа ${\displaystyle \pi (N)}$ простых чисел, не превосходящих ${\displaystyle N}$).

Недостаточная сила оценок, получаемых с помощью метода Вейля, объясняется высокой степенью ${\displaystyle \rho _{0}}$, в которую возвышается сумма ${\displaystyle S(f)}$. Некоторое усовершенствование оценок сумм ${\displaystyle (1)}$ дал И. ван дер Корпют. C помощью метода Виноградова получается весьма точная оценка сверху для интеграла

${\displaystyle \int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}\mid S(f)\mid ^{2b}d\alpha _{n}\ldots d\alpha _{1}}$

уже при ${\displaystyle b\geqslant cn^{2}}$ (${\displaystyle c>0}$ – константа, ${\displaystyle n\geqslant 2}$). Из этой оценки выводятся принципиально новые оценки сумм Вейля ${\displaystyle (1)}$ (с понижающим множителем ${\displaystyle P-\rho }$, ${\displaystyle \rho =c_{1}n^{2}\ln n}$, ${\displaystyle c_{1}>0}$ – константа), недосягаемые для метода Вейля.