Логарифмическая спираль

Логарифми́ческая спира́ль (изогональная спираль), плоская трансцендентная кривая, уравнение которой в полярных координатах имеет вид

${\displaystyle \rho =a^{\varphi },\quad a>0}$.

При ${\displaystyle a>1}$ и ${\displaystyle \varphi \to +\infty }$ логарифмическая спираль развёртывается против хода часовой стрелки, при ${\displaystyle \varphi \to -\infty }$ спираль закручивается по ходу часовой стрелки, стремясь к своей асимптотической точке ${\displaystyle O}$. Если ${\displaystyle a<1}$, логарифмическая спираль закручивается против хода часовой стрелки. Угол, составляемый касательной в произвольной точке логарифмической спирали с радиус-вектором точки касания, зависит лишь от параметра ${\displaystyle a}$. Длина дуги между точками ${\displaystyle M_{1}(\rho _{1},\varphi _{1})}$ и ${\displaystyle M_{2}(\rho _{2},\varphi _{2})}$:

${\displaystyle l=\rho _{2}{\frac {\sqrt {1+\operatorname {ln} ^{2}a}}{\operatorname {ln} a}}-\rho _{1}{\frac {\sqrt {1+\operatorname {ln} ^{2}a}}{\operatorname {ln} a}}}$.

Радиус кривизны: ${\displaystyle r=\rho {\sqrt {1+\operatorname {ln} ^{2}a}}}$. Натуральное уравнение: ${\displaystyle s=kr}$, где ${\displaystyle k=1/\operatorname {ln} a}$. Логарифмическая спираль переходит в себя при линейных преобразованиях плоскости. Логарифмическая спираль относится к т. н. псевдоспиралям.