Натуральные уравнения

Натура́льные уравне́ния, выражают кривизну ${\displaystyle k}$ и кручение ${\displaystyle \sigma }$ кривой как функции длины ${\displaystyle s}$ её дуги: ${\displaystyle k=k(s)}$, ${\displaystyle \sigma =\sigma (s)}$. Название «натуральные уравнения» объясняется тем, что функции ${\displaystyle k(s)}$ и ${\displaystyle \sigma (s)}$ зависят только от формы кривой и не зависят от положения кривой в пространстве (от выбора системы координат). Две трижды непрерывно дифференцируемые кривые, имеющие одинаковые натуральные уравнения, могут отличаться друг от друга только положением в пространстве. Иначе говоря, форма кривой однозначно определяется её натуральными уравнениями. Если заданы две непрерывные функции ${\displaystyle k(s)}$ и ${\displaystyle \sigma (s)}$, из которых первая положительная, то существует кривая, для которой данные функции являются соответственно кривизной и кручением. См. также Дифференциальная геометрия.