Кручение в сопротивлении материалов

Круче́ние в сопротивлении материалов, вид деформации, характеризующийся взаимным поворотом поперечных сечений деформируемого тела под влиянием моментов (пар сил), действующих в этих сечениях; при этом в поперечных сечениях деформируемого тела возникает крутящий момент. Поперечные сечения круглых стержней (валов) при кручении остаются плоскими; при кручении призматических стержней происходит депланация сечения (искривление сечения за счёт неравномерности перемещения его точек).

Если депланация во всех сечениях по длине стержня одинакова, то кручение называется свободным (чистым); при свободном кручении в поперечных сечениях возникают только касательные напряжения. При переменных по длине стержня депланациях сечений (при наличии заделки, изменении крутящих нагрузок по длине стержня и др.) кручение называется стеснённым (изгибным); оно характеризуется тем, что наряду с касательными в поперечных сечениях стержня возникают также нормальные напряжения.

Наиболее часто встречающимся в практике случаем является кручение круглого прямого стержня (рис. 1).

В результате действия крутящего момента ${\displaystyle M_{\text{к}}}$ в поперечных сечениях стержня возникают касательные напряжения ${\displaystyle \tau }$, а сечения стержня (расстояние между которыми равно ${\displaystyle l}$) поворачиваются одно относительно другого на угол закручивания ${\displaystyle \phi }$. Угол закручивания на единицу длины стержня называют относительным углом закручивания ${\displaystyle \theta }$. При свободном кручении в упругой стадии относительный угол закручивания и наибольшие касательные напряжения ${\displaystyle \tau _{\text{макс}}}$ определяются по формулам:

${\displaystyle \theta ={\frac {M_{\text{к}}}{GI_{\text{к}}}},\tau _{\text{макс}}={\frac {M_{\text{к}}}{W_{\text{к}}}}}$,

где ${\displaystyle G}$ – модуль упругости при сдвиге, ${\displaystyle I_{\text{к}}}$ и ${\displaystyle W_{\text{к}}}$ – соответственно условный момент инерции и момент сопротивления при кручении. В круглых сечениях ${\displaystyle I_{\text{к}}}$ представляет собой полярный момент инерции ${\displaystyle I_{p}=\pi r^{4}/2}$, а ${\displaystyle W_{\text{к}}}$ – полярный момент сопротивления ${\displaystyle W_{p}=\pi r^{3}/2}$. Произведение ${\displaystyle GI_{p}}$ называется жёсткостью круглого сечения при кручении. Для прямоугольных сечений с большей стороной ${\displaystyle h}$ и меньшей ${\displaystyle b}$: ${\displaystyle I_{\text{к}}=\alpha hb^{3},W_{\text{к}}=\beta hb^{2}}$, где коэффициенты ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ определяются в зависимости от отношения ${\displaystyle h/b}$ по таблицам.

При кручении круглого вала с радиусом ${\displaystyle R}$ в упругой стадии касательные напряжения ${\displaystyle (\tau ={\frac {M_{\text{к}}}{I_{p}}}\rho )}$ распределяются в поперечном сечении по линейному закону (рис. 2, а), где ${\displaystyle \rho }$ – расстояние от оси вала до рассматриваемой точки сечения. В упругопластической стадии (рис. 2, б) касательные напряжения, соответствующие пределу текучести ${\displaystyle (\tau _{\text{т}})}$, распространяются от поверхности к оси вала, а всё сечение разделяется на две зоны: упругое ядро с радиусом ${\displaystyle r_{\text{т}}}$, в котором ${\displaystyle \tau \leqslant \tau _{\text{т}}}$, и пластичную кольцевую зону ${\displaystyle r_{\text{т}}\leqslant \rho \leqslant R}$, в которой ${\displaystyle \tau =\tau _{\text{т}}}$. В предельном состоянии (рис. 2, в) пластичная зона охватывает всё сечение (такое состояние стержня называется пластичным шарниром), при этом предельный крутящий момент для круглого сечения:

${\displaystyle M_{\text{пред}}={\frac {2}{3}}(\tau _{\text{т}}\pi r^{2})}$.

При кручении пластин и оболочек происходит искривление срединной поверхности вследствие перемещения её точек в направлении нормалей; в работе конструкций этих типов кручения сопутствуют деформации изгиба.